Divisibilità con tre polinomi

[Ani-sama]

Direttamente da un'esercitazione di Analisi A, un esercizietto facile

Siano $ $P, Q, R$ $ tre polinomi a coefficienti reali tali per cui $ $P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)$ $ è divisibile per $ $x^4+x^3+x^2+x+1$ $. Dimostrare che $ $P(x)$ $ è divisibile per $ $x-1$ $.

[pic88]

abbiamo che
$ x^4+x^3+x^2+x+1|P(x^5)+xQ(x^5)+x^2R(x^5)=f(x) $
Le radici del polinomio a sinistra sono
$ \displaystyle \omega_1=e^{i\frac{2\pi}{5}} $
$ \displaystyle \omega_2=e^{i\frac{4\pi}{5}} $
$ \displaystyle \omega_3=e^{i\frac{6\pi}{5}} $
$ \displaystyle \omega_4=e^{i\frac{8\pi}{5}} $
Osservando che $ f(\omega_1),...,f(\omega_4) $ devono essere uguali a zero, si arriva a
a. $ P(1)+\omega_1Q(1)+\omega_2R(1)=0 $
b. $ P(1)+\omega_2Q(1)+\omega_4R(1)=0 $
c. $ P(1)+\omega_3Q(1)+\omega_1R(1)=0 $
d. $ P(1)+\omega_4Q(1)+\omega_3R(1)=0 $

da cui, sommandole tutte:
$ 4P(1)+(R(1)+Q(1))(\omega_1+...+\omega_4)=0 $
ovvero,
$ \displaystyle P(1)=\frac{R(1)+Q(1)}{4} $
La tesi è vera se $ Q(1)=-R(1) $. Ciò si vede da a+d-(c+d)=0