Subdola concorrenza

[EvaristeG]

Sia ABC acutangolo, sia H il piede dell'altezza da A su BC e siano M,N le proiezioni di H su AB e AC. Sia $ m_A $ la perpendicolare da A a MN; siano $ m_B,\ m_C $ definite similmente. Mostrare che queste tre rette concorrono.

[Sisifo]

Sia Q l'intersezione di m_A con MN.
I triangoli AMH e ABH, ANH e ACH sono simili, e il quadrilatero AMNH é ciclico, da cui
\angle AMQ = \pi/2 - \angle AMN = \pi/2 - \angle AHN = \angle HAN
Da cui si conclude facilmente che m_A é la congiungente vertice circocentro (uguaglianza di angoli). Ovviamente a questo punto m_A, m_B e m_C concorrono nel circocentro