Moto in una sfera

[Animus]

Vorrei porre un quesito che non mi riesce di risolvere, saro' grato a chiunque voglia aiutarmi.

Anni fa vidi al circo lo spettacolo di alcune moto (da cross) che ruotavano all'interno di una sfera metallica, la velocità della moto serviva a "salire" piu' in alto, mentre, chiaramente, diminuendo la velocità, la moto tornava verso la parte piu' bassa.

Bene, la domanda è la seguente:

Considerando un moto senza attriti, e utilizzando una piccola sfera (al posto della moto da cross), che ruoti all'interno della sfera (ma anche una semisfera, dato che per quanto sia alta la velocità, la pallina non potrà mai superare la pendenza verticale, ossia uscire dal cerchio massimo della sfera) piu grande (è ovviamente concava), di quale velocità ha bisogno la piccola sfera per muoversi lungo il cerchio dove la semi-sfera forma un angolo di 45° col terreno?

E piu' in generale, qual'è la formula che descrive questo tipo di moto?

Spero di essermi spiegato, magari per voi è semplice, ma per mè è un vero enigma.

Grazie.

[Animus]

Ecco, ho trovato il video, spero che ora sia piu' chiaro: http://www.jumpingpixels.com/motorcycle3.html

[SkZ]

dovrebbere essere cosi':
Sul corpo agiscono due forze: la forza peso $ ~mg $ (perpendicolare al suolo) e la forza centripeta $ ~m\omega^2 R \sin{\alpha} $
le componenti parallele al piano tangente nel punto ove si trova istante per istante la il corpo devono essere uguali e opposte (il corpo non sale ne' scende)
$ \displaystyle mg\sin{\alpha}=m\omega^2 R \sin{\alpha} \cos{\alpha} = m \frac{v^2}{R \sin{\alpha}} \cos{\alpha} $
ovvero
$ \displaystyle g\sin{\alpha}=\omega^2 R \sin{\alpha} \cos{\alpha}= \frac{v^2}{R \sin{\alpha}} \cos{\alpha} $
ovvero
$ \displaystyle \frac{ \cos{\alpha}}{1-\cos^2{\alpha}}= \frac{gR}{v^2} $
dovrebbe essere giusto dato che per $ ~g\rightarrow 0\quad \alpha \rightarrow \frac{\pi}{2} $ e $ ~v\rightarrow 0\quad \alpha \rightarrow 0 $

[donchisciotte]

mmmmmmmmmm
perchè la sferetta non può superare il cerchio massimo?
basterebbe una forza centrifuga superiore alla forza peso

$ m*v²/r > mg $
$ v²/r > g $

per una velocità maggiore o uguale alla radice di gr la moto nn cade[/tex]

[SkZ]

si parla di moto in piani perpendicolari alla verticale; in tal caso il corpo e' costretto a stare nella semisfera inferiore, infatti per $ ~v\rightarrow \infty\quad \alpha \rightarrow \frac{\pi}{2} $
per passare ala semisfera superiore dovresti avere $ \displaystyle \alpha > \frac{\pi}{2} $ quindi $ \displaystyle \cos{\alpha}<0 $, quindi $ \displaystyle \frac{gR}{v^2} < 0 $
per velocita' abbastanza elevate il corpo si puo' muovere lungo qualunque circolo massimo

[Animus]

SkZ, ti ringrazio molto per risposta.
Certo che dalla formula non si puo calcolare l'angolo in funzione della velocità e del raggio, il che, è un vero peccato.

si parla di moto in piani perpendicolari alla verticale; in tal caso il corpo e' costretto a stare nella semisfera inferiore, infatti per $ ~v\rightarrow \infty\quad \alpha \rightarrow \frac{\pi}{2} $
per passare ala semisfera superiore dovresti avere $ \displaystyle \alpha > \frac{\pi}{2} $ quindi $ \displaystyle \cos{\alpha}<0 $, quindi $ \displaystyle \frac{gR}{v^2} < 0 $
per velocita' abbastanza elevate il corpo si puo' muovere lungo qualunque circolo massimo

[SkZ]

sei sicuro?
$ \displaystyle \cos{\alpha}=\left[\sqrt{\left(\frac{v^2}{2gR}\right)^2+1}- \frac{v^2}{2gR}\right] $

[Animus]

Hurk! non me li ricordavo piu questi trucchetti!
$ \displaystyle \cos{\alpha}=x $ e risolvi un equazione di secondo grado...........sono proprio arrugginito.

Bene, sono soddisfatto.

In gamba ragazzi,

Ciao