Identità con binomiali e potenze

[edriv]

Dimostrare che:
$ \displaystyle \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^k = (a+1)^n $

[Sisifo]

!

[Boll]

Serie di McLaurin?

[MdF]

Binomio di Netwon, caso particolare con $ $ b=1 $ $: nel termine della serie, siccome è $ $ a \cdot b $ $, resta solo $ $ a $ $; nell'espressione del binomio è quello che si vede.

[edriv]

(A sisifo: "?" )

Ok, e infatti vale anche:
$ \displaystyle \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^ka^k = (a-1)^n(-1)^n $

Ora, esercizio: riuscite a dimostrare queste identità senza Newton ma con un'interpretazione combinatorica?

[LeopoldoXII]

Ci provo:


Abbiamo n caselle. Scegliamo un intero $ k \leq n $ e scegliamo quindi k caselle tra le n in $ {n \choose k} $ modi.
A ognuna delle k caselle scelte possiamo assegnare un numero intero da 1 ad a.
Per ogni stringa di k caselle abbiamo quindi $ $a^k$ $ modi di assegnare i valori.
Le combinazioni possibili sono quindi $ \displaystyle \sum_{k=0}^n{n \choose k}a^k $.
Inoltre alle caselle non scelte assegniamo il valore 0. Ognuna delle n caselle può avere così (a+1) valori diversi, quindi le combinazioni possibili sono $ (a+1)^n $.
Si ottiene quindi l'uguaglianza.

Ps. è doubleconting?

[edriv]

Ok. Sì, si può considerare un doublecounting.

Ora passiamo al meno, che è un po' più difficile.