Dati due numeri naturali $ a,b $ dimostrare che tra i numeri di questa forma:
$ \displaystyle \left( a+ \frac 12 \right) ^n + \left( b+ \frac 12 \right) ^n $
ci sono solo una finitudine di interi.
Solo una finitudine di interi....
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Simo_the_wolf
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$ \displaystyle \left (a+\frac12 \right ) ^n + \left ( b+\frac12 \right ) ^n = \frac 1 {2^n} [(2a+1)^n + (2b+1)^n] $
Ponendo c=2a+1, d=2b+1, c e d sono due generici numeri dispari.
Vogliamo dimostrare che da un certo punto in poi:
$ ~ c^n+d^n = s_n $ non è divisibile n volte per 2.
Osserviamo che vale la ricorrenza:
$ ~ s_n = c^n+d^n = (c+d)(c^{n-1}+d^{n-1}) - cd(c^{n-2} + d^{n-2}) $$ = (c+d)s_{n-1} - cds_{n-2} $
Sia ora $ ~ k=v_2(s_1) $, ovvero l'esponente della massima potenza di 2 che divide c+d. Dimostriamo per induzione che $ ~ s_n $ è divisibile per 2 al più k volte!
Per n=1, è ovvio. Infatti $ ~ s_1 = c+d $... insomma abbiamo definito k in questo modo.
Poi, $ ~ s_n = (c+d)s_{n-1} + cds_{n-2} $ osserviamo che $ ~ (c+d)s_{n-1} $ è divisibile per 2 almeno k+1 volte (il +1 è dato dal fatto che $ ~ s_{n-1} $ è pari), mentre $ ~ cds_{n-2} $ è divisibile per 2 al più k volte (essendo cd dispari), quindi... la somma è divisibile per 2 al più k volte. *
Ovviamente da un certo n in più sarà k<n.
* $ ~ 2^x + 2^{x+k} = 2^x(2^k+1) = 2^x \cdot \mbox{dispari} $.
ciao simo
Ponendo c=2a+1, d=2b+1, c e d sono due generici numeri dispari.
Vogliamo dimostrare che da un certo punto in poi:
$ ~ c^n+d^n = s_n $ non è divisibile n volte per 2.
Osserviamo che vale la ricorrenza:
$ ~ s_n = c^n+d^n = (c+d)(c^{n-1}+d^{n-1}) - cd(c^{n-2} + d^{n-2}) $$ = (c+d)s_{n-1} - cds_{n-2} $
Sia ora $ ~ k=v_2(s_1) $, ovvero l'esponente della massima potenza di 2 che divide c+d. Dimostriamo per induzione che $ ~ s_n $ è divisibile per 2 al più k volte!
Per n=1, è ovvio. Infatti $ ~ s_1 = c+d $... insomma abbiamo definito k in questo modo.
Poi, $ ~ s_n = (c+d)s_{n-1} + cds_{n-2} $ osserviamo che $ ~ (c+d)s_{n-1} $ è divisibile per 2 almeno k+1 volte (il +1 è dato dal fatto che $ ~ s_{n-1} $ è pari), mentre $ ~ cds_{n-2} $ è divisibile per 2 al più k volte (essendo cd dispari), quindi... la somma è divisibile per 2 al più k volte. *
Ovviamente da un certo n in più sarà k<n.
* $ ~ 2^x + 2^{x+k} = 2^x(2^k+1) = 2^x \cdot \mbox{dispari} $.
ciao simo
Piu' semplicemente:
se n e' pari $ \displaystyle (2a+1)^n + (2b+1)^n $ e' congruo a 2 mod 8, quindi non funziona.
Se n e' dispari $ \displaystyle (2a+1)^n + (2b+1)^n= $$ (2a+2b+2)((2a+1)^{n-1}-(2a+1)^{n-2}(2b+1)+...+(2b+1)^{n-1}) $
il secondo fattore e' dispari perche' il numero di addendi e' dispari, il primo e' divisibile per 2 solo un numero finito di volte.
Ciao!
Maria
se n e' pari $ \displaystyle (2a+1)^n + (2b+1)^n $ e' congruo a 2 mod 8, quindi non funziona.
Se n e' dispari $ \displaystyle (2a+1)^n + (2b+1)^n= $$ (2a+2b+2)((2a+1)^{n-1}-(2a+1)^{n-2}(2b+1)+...+(2b+1)^{n-1}) $
il secondo fattore e' dispari perche' il numero di addendi e' dispari, il primo e' divisibile per 2 solo un numero finito di volte.
Ciao!
Maria