OliForum Matematico

$ \forall n \in \mathbb{N}_0 $ dimostrare che esiste almeno una tripla di interi positivi $ x,y,z $ tale che:

$ \displaystyle x^{n-1}+y^n=z^{n+1} $

prendi n=2
con x=4 y=2 e z=2 è dimostrato

Credo che dovresti fornire una dimostrazione valida $ \forall n \in \mathbb{N} $

la domanda non specificava , quindi siccome ne ho trovata almeno una è dimostrato. (in effetti così fatto non ha molto senso)

"Dato $ n\in \mathbb{N}_0 $" significa che deve valere per ogni $ n $ assegnato e non solo per $ n=2 $.

veramente no, da come lo ha scritto vuol dire che e appartiene ai naturali escluso lo 0, non ha detto di dimostrare che ci sono infinite soluzioni per ogni n, ma almeno una. Quindi siccome ne ho trovata almeno una è dimostrato

Credo che il testo voglia dire che per ogni n fissato appartenente ai naturali escluso lo zero, esiste almeno una soluzione a quell'equazione. Non credo basti esibire la soluzione per n=2.

¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾ ha scritto:non ha detto di dimostrare che ci sono infinite soluzioni per ogni n, ma almeno una.

Infatti, almeno una fissato $ n \in \mathbb{N}_0 $, il che è come dire che $ \forall n \in \mathbb{N}_0 \exists (x,y,z) $ soluzione. Tu hai dimostrato che per n=2 esiste una soluzione, ma questo non implica che ne esista una per ogni n

a ok io avevo capito bastasse dimostrarne almeno uno, in effetti mi sembrava troppo banale così fatto

Si ok magari andava specificato, ma speravo nel buon senso altrui...

Allora... innanzitutto bel problema!
Comunque... partiamo da questa che è vera: $ 3^2+2^3*3^2 = 3^4 $.
Ora, io voglio trovare due interi a e b tali che moltiplicando ogni termine della relazione precedente per $ 2^a*3^b $ i tre valori siano rispettivamente potenze (n-1),n, e (n+1)-esime.
Ma questo posso sempre farlo per il Teorema Cinese del Resto: infatti le condizioni che devo porre sono:
$ 2+b \equiv 0 \pmod {n-1} $
$ 2+b \equiv 0 \pmod {n} $
$ 4+b \equiv 0 \pmod {n+1} $
e
$ a \equiv 0 \pmod {n-1} $
$ 3+a \equiv 0 \pmod {n} $
$ a \equiv 0 \pmod {n+1} $

Che hanno sempre soluzione: infatti, se n è pari allora (n-1),n,(n+1) non hanno primi in comune, altrimenti, se n è dispari, c'è un primo (2) comune a (n-1) e (n+1). Tuttavia uno dei due è divisibile solo esattamente per 2 (cioè non è divisibile per 4) e l'unica condizione che dà è che a sia pari. Ma questo è in accordo con l'altra condizione, che sarà più stretta ma sicuramente non in disaccordo. Quindi abbiamo due valori a e b con le caratteristiche dette prima, il che vuol dire che ogni termine diventa una potenza dell'esponente "giusto": prendendo le rispettive radici abbiamo (x,y,z).

Ciao!