OliForum Matematico

Quale e' la regola di derivazione quando sono in presenza di modulo???

Ad esempio..come uscirebbe la derivata di:

$ \displaystyle |x-y| $

thanks.

Non è una domanda da poco, perché è uno dei punti chiave della derivazione di una funzione.
Con funzioni in valore assoluto, il grafico della funzione assume un andamento non tradizionale, ma con punti angolosi (veri e propri angoli) sull'asse delle ascisse in corrispondenza dei vari per cui la funzione negativa viene positivizzata dal valore assoluto.
A questo punto si risolve come segue (dato $ $a$ $ come argomento del valore assoluto):
1) scegli $ $ a<0 \Rightarrow |a|=a$ $ e lo derivi;
2) scegli $ $ a<0 \Rightarrow |a|=-a$ $ e lo derivi;
3) trovi i punti angolosi e lì calcoli la derivata destra e la sinistra. Saranno sicuramente diverse (ti consiglio di studiare il caso elementare della derivata di $ $y=|x|$ $ per vedere e capire).
Questo è il grosso del problema, per affinare il discorso faccio appello ai mods.

Tutto giusto, ma

MdF ha scritto: 3) trovi i punti angolosi e lì calcoli la derivata destra e la sinistra. Saranno sicuramente diverse

In realtà non è sempre vero che sono sempre diverse: esempio $ y=|x^3| $. Questo complica un po' le cose: per dire se la funzione è derivabile o no nel punto "cattivo" devi fare *a mano* il limite del rapporto incrementale sx e dx e vedere se esistono e coincidono.

ciao,

Vero, mi sono affidato troppo al solo caso $ $ y=|x| $ $...

il demarco suggerisce

$ ~D(|f(x)|)=sgn(f(x))f'(x) $ per $ ~f(x)\neq 0 $

che e' un buon artificio

comunque quanto detto da fph e' perentorio: nel compito di analisi 1 mi sono trovato una funzione piena di moduli che era $ ~C^2 $ su tutto $ ~\mathbb{R} $, quindi nulla e' sicuro a priori.

se no.... vedi dove l'argomento del valore assoluto è positivo e dove è negativo...

dove l'argomento è positivo calcoli subito la derivata;

nell'intervallo in cui l'argomento è negativo, cambi tutto di segno e ricalcoli la derivata...

In pratica devi calcolare due derivate... separatamente.... nei punti in cui l'argomento del valore assoluto si annulla calcoli i limiti destro e sinistro e veti che punto di non derivabilità è....

qui in giro nel forum ci dovrebbe essere un topic che avevo aperto proprio riguardo a quest'argomento...

Ma nel caso di funzioni con piu' variabili come si fa per le derivate parziali ???

Per esempio in $ $ z=|x-y| $ $ come faccio ??

Thanks.

$ \[\displaystyle \frac{\partial }{{\partial x}}|x - y| = sign(x - y) \] $

$ \[\displaystyle \frac{\partial }{{\partial y}}|x - y| = - sign(x - y) \] $

sempre per $ x \neq y $

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