Problema Centro di massa dall'Halliday

[robbieal]

Ciao ragazzi posto un problema dall'Halliday sul centro di massa (per chi ce l'ha è il numero 6 di pag. 201). Poichè non c'è la soluzione vorrei sapere se la mia soluzione è esatta.

Una latta a forma di cilindro circolare retto di massa propria $ M=0,140 Kg $, altezza $ H=12,0 cm $ e massa volumica uniforme è all'inizio piena di gazzosa avente massa $ m=1,31 Kg $. Pratichiamo dei forellini nel fondo e nel coperchio per far colare lentamente la gazzosa; chiamiamo $ h $ l'altezza variabile del centro di massa della latta col liquido in essa contenuto. Qual è il valore di $ h $:
a) all'inizio
b) quando è scolata tutta la gazzosa
c) come varia $ h $ durante la fuoriuscita del liquido?
d) Chiamando $ x $ l'altezza del livello della gazzosa residua durante lo scarico, trovare il valore $ x $ quando il centro di massa $ h $ raggiunge il punto più basso.


Per i punti a e b mi sembra logico che il centro di massa si trovi nel punto $ H/2=6 cm $.
Per il punto c direi che
$ h=(H/2*M+x/2*(m-dm))/(M+m-dm) $ (scusate ma nn ho ancora imparato a usare bene il LaTeX) dove $ H/2 $ e $ x/2 $ sono rispettivamente i centri di massa della latta e del liquido e $ dm $ la quantità di massa fuoriuscita.
Per il punto d invece ho pensato che l'altezza minima del centro di massa si ha quando la massa del liquido uguaglia quella della latta. L'altezza $ x $ del liquido è direttamente proporzionale alla sua massa. Quindi ho posto che $ x/M=H/m $ per cui $ x=M*H/m=1,28 cm $. Quindi sostituendo si trova anche l'altezza minima $ h=(M*H/2+M*x/2)/2M=3,32 cm $.

Vi ringrazio in anticipo per le vostre risposte. ciao!

[fph]

Problema Centro di massa dall'Halliday

La risposta è semplice: il centro di massa dell'Halliday sta 0.15 cm a sinistra del centro di pag. 237.

[SkZ]

La risposta è semplice: il centro di massa dell'Halliday sta 0.15 cm a sinistra del centro di pag. 237.

muoio!
$ ~h,x\ge 0 $
$ \displaystyle h=\frac{M\frac{H}{2}+m\frac{x}{2}}{M+m} $

$ ~m=\rho S x $ $ ~S $ sezione della latta

$ \displaystyle h=\frac{MH+\rho Sx^2}{2(M+\rho S x)} $

[robbieal]

Io però avevo scritto DALL'Halliday...uffa! (carina comunque )

Ritornando al problema non avete risposto al punto d (o almeno così mi sembra). Va bene la mia soluzione?? grazie.

[SkZ]

$ \displaystyle \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x}=0 $

$ \displaystyle \frac{\textrm{d}h}{\textrm{d}x}=\frac{\rho Sx^2+2Mx-MH}{2(M+\rho S x)^2}=0 $

$ \displaystyle x=\frac{-M+\sqrt{M^2+MH\rho S}}{\rho S}= H \frac{-M+\sqrt{M^2+MH\rho S}}{\rho SH} = $$ \displaystyle H \frac{-M+\sqrt{M^2+Mm_0}}{m_0} $
con $ ~m_0=\rho SH $ massa del liquido quando riempie completamente il recipiente

$ \displaystyle x= H\frac{-1+\sqrt{1+\frac{m_0}{M}}}{\frac{m_0}{M}}}\approx H\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{8}\frac{m_0}{M}\right)\quad $ per $ \displaystyle \frac{m_0}{M}\ll 1 $

$ \displaystyle x= H\left( -\frac{M}{m_0} + \sqrt{\left(\frac{M}{m_0}\right)^2+\frac{M}{m_0}} \right) \approx H\left( \sqrt{\frac{M}{m_0}}-\frac{M}{m_0}\right)\quad $ per $ \displaystyle \frac{M}{m_0}\ll 1 $