Un reale che genera infiniti primi

[edriv]

Dimostrare che esiste un numero reale $ ~ \alpha $ tale che:
$ \displaystyle \left \lfloor 2^{2^{{\ldots}^{2^{\alpha}}}} \right \rfloor $
, dove nella torre il 2 compare $ ~ n $ volte, è primo per ogni $ ~ n \in \mathbb{N}_0 $.

Potete usare il Postulato di Bertrand.
Sì ok, è più analisi che teoria dei numeri, però era interessante ed ero in dubbio su dove metterlo... se un moderatore pensa che sia meglio spostarlo, faccia pure.

[edriv]

Per chi si facesse troppo sorprendere da questo genere di problemi, aggiungo questo:

Dimostrare che esiste un reale $ ~ \beta $ tale che:
$ \displaystyle \lfloor 4^n \beta \rfloor - 2^n \lfloor 2^n \beta \rfloor $, al variare di n tra i naturali, genera tutti e soli i numeri primi.

[HiTLeuLeR]

Dimostrare che esiste un numero reale $ ~ \alpha $ tale che: $ \displaystyle \left \lfloor 2^{2^{{\ldots}^{2^{\alpha}}}} \right \rfloor $, dove nella torre il 2 compare $ ~ n $ volte, è primo per ogni $ ~ n \in \mathbb{N}_0 $.

Lemma: sia $ \{a_n(\cdot)\}_{n \ge 0} $ la successione di funzioni $ \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} $ definita ponendo ricorsivamente $ a_0(x) = x $ ed $ a_{n+1}(x) = 2^{a_n(x)} $, al variare di $ n\in\mathbb{N} $. Vogliamo provare che, comunque scelto un $ n \in \mathbb{N}^+ $, esiste $ x \in \mathcal{I} := \left[\frac{5}{4}, \frac{3}{2}\right] $ tale che $ \lfloor a_k(x_n) \rfloor $ è primo, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, n $.

DIM.: la tesi è banale se $ n = 1 $ oppure $ n = 2 $. Per induzione estesa, fissato un intero $ n \ge 2 $, ammettiamo quindi che sia soddisfatta per ogni $ k\in\overline{1,n} $. Ricorsivamente, osserviamo che $ a_k(x_n) $ non è intero, quale che sia $ k = 1, 2, \ldots, n $. Quindi definiamo $ i_{n,k} = \inf\{x \in \mathcal{I}: \lfloor a_k(x) \rfloor = \lfloor a_k(x_n) \rfloor\} $ ed $ s_{n,k} = \sup\{x \in \mathcal{I}: \lfloor a_k(x) \rfloor = \lfloor a_k(x_n) \rfloor\} $, per $ k = 1, 2, \ldots, n $. Considerando che ogni termine della sequenza $ a_1(\cdot), a_2(\cdot), \ldots, a_n(\cdot) $ è una funzione di classe $ C^1 $ e che $ 0 < a_k'(x) < a_{k+1}'(x) $ ed $ a_k\!\left(\frac{5}{4}\right) < a_{k+1}\!\left(\frac{5}{4}\right) $, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, n-1 $ ed ogni $ x \in \mathcal{I} $, ne risulta $ i_{n,1} \le \ldots \le i_{n,n} < s_{n,n} \le \ldots \le s_{n,1} $, di modo che $ \displaystyle i_n := \max_{1 \le k \le n} \{i_{n,k}\} = i_{n,n} $ ed $ \displaystyle s_n := \min_{1 \le k \le n}\{s_{n,k}\} = s_{n,n} $.

Inoltre, secondo costruzione, $ \lfloor a_k(x) \rfloor $ è primo, per ogni $ k = 1, 2, \ldots, n $ ed ogni $ x \in [i_n, s_n[ $, per via del fatto che la parte intera bassa è una funzione semicontinua da destra. In particolare, $ a_n(i_n) = \lfloor a_n(x_n) \rfloor = a_n(s_n) - 1 $, e perciò $ a_{n+1}(s_n) \ge 2a_{n+1}(i_n) $. In base al postulato di Bertrand, è pertanto determinato $ \hat{x} \in [i_n, \frac{1}{2}(i_n+s_n)] $ tale che $ a_{n+1}(\hat{x}) $ è primo. Assunto finalmente $ x_{n+1} = \hat{x} $, ne fa seguito la tesi.