sommatorie

[Sommatorio86]

salve a tutti sono nuovo di questo bel forum.mi chiamo Mario sono studente di chimica e avrei un problema.....
sul mio libro(per chi lo conoscesse BRAMANTI PAGANI SALSA pagina 8 esercizi 5 e 6) ci sono due esercizi sulle sommatorie che mi creano un pò di problemi.ora non so come inserire i simboli per poter farvi vedere.ve lo dico a voce sperando che si capisca e che qualcuno possa darmi una mano.

1problema
dimostrare che "la sommatoria per k da 1 a n di k^2"moltiplicata per 6 è uguale a (2n^3+3n^2+n)/6.

il libro da un suggerimento.
parte da un'altra sommatoria"sommatoria per k da 0 a n di (k+1)^3"
e la sviluppa.....
"sommatoria per k da 1 a n di (k^3+3k^2+3k+1)"..........
qui distribuisce la sommatoria su ogni addendo(usa la proprietà di scomposizione di una sommatoria).

poi parte sempre dalla sommatoria"sommatoria per k da 0 a n di (k+1)^3" e la svliluppa in un altro modo....
"sommatoria per k da 1 a n+1 di k^3............
poi sviluppa ancora
"sommatoria per k da 1 a n di k^3" + (n+1)^2
in pratica ha esplicitato l'ultimo termine della sommatoria a quanto m'ha detto una prof che cmq ha liquidato il problema dicendo è questione di calcoli dopo(grazie al caxxo).

2problema
calcolare esplicitamente la seguente somma semplificando opportunamente:

"sommatoria per k da 1 a 100 di [(1/k)-(1/(K+1))]"

sperando in un vostro aiuto...............un saluto a tutti

ps
avrete capito anke il motivo del mio nickname....

[=Betta=]

Ciao! Date le mie scarse conoscenze matematiche, sul primo esercizio non penso ti potrei essere di grande aiuto, comunque ho risolto il secondo...

Iniziamo col considerare K=1:
[(1/K-(1/(K+1))] = [1-(1/(1+1)] = (1 - 1/2)
e ora per k=2 sarà (1/2 - 1/3)
per k=3 (1/3 - 1/4)
quindi la sommatoria è:
(1-1/2) + (1/2-1/3) + (1/3-1/4) + ..... + (1/100 - 1/101)
tutti i termini si semplificheranno tra loro e alla fine rimarrano soltanto 1 - 1/101
quindi il risultato è 100/101.

Spero di esserti stata di aiuto! (e di non aver sbagliato niente!... )

Ciao!

[darkcrystal]

Intanto te li trascrivo in LaTeX: $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ e $ \displaystyle \sum_{k=1}^{100}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}) $.
Iniziamo dal secondo. Esplicitando la sommatoria si ottiene $ (\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+...-\frac{1}{101}=1-\frac{1}{101} $: è una cosiddetta "somma telescopica" in cui un termine "si mangia" il precedente.
Per il primo ci sono molti modi, lo potresti fare per induzione oppure - se riesco a capire quello che vuole il tuo libro - cerco di scrivertelo.

[darkcrystal]

Allora, si, quello che vuole il libro penso sia questo:
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k+1)^3=\sum_{k=1}^{n}k^3+3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+n $
$ \displaystyle =\sum_{k=1}^{n}k^3+3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\frac{n(n+1)}{2}+n $.
Ma d'altra parte si ha anche $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k+1)^3=\sum_{k=2}^{n+1}(k)^3 $
$ \displaystyle =(\sum_{k=1}^{n+1}(k)^3)-1=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3-1 $, da cui $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^3+3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+n=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3-1 $, che porta a $ \displaystyle 3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\frac{n(n+1)}{2}+n=(n+1)^3-1 $, da cui si arriva con semplici conti a $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{2n^3+3n^2+n}{6} $ da cui si conclude scomponendo il numeratore.
Sperando di essere stato chiaro, (e di non aver fatto errori )
ciao!

Edit: siccome mi accorgo di NON essere stato chiaro tento di spiegare anche a parole. Al primo passaggio esplicito la sommatoria facendo lo sviluppo del binomio, al secondo con un po' di passaggi algebrici (cambiare le variabili per farle quadrare). Visto che sono partito dalla stessa espressione, è ovvio che le due espressioni che ho trovato sono uguali e quindi le eguaglio (scusate l'italiano). Elimino poi il termine della sommatoria di k cubo (che tanto è presente sia a destra che a sinistra) e finisco i conti. Ora spero si capisca qualcosina di più. Ciao e buona fortuna con i tuoi studi!

[mistergiovax]

scusate la mia interruzione, l'esercizio n.1 (quello della 'sommatoria di k da 1 a n...') non si può risolvere per induzione invece di complicarsi la vita?

[Sommatorio86]

vao grazie infinite a tutti quanti!siete grandissimi.....il mio testo purtroppo nn parla di "somme telescopiche"...e a quanto vedo richiedeva una elasticità nell'uso delle sommatorie e delle loro proprietà un attimo avanzata..........che nn se pò avè al 7 esercizio!!!
vabè...grazie infinite a tutti di nuovo!siete stati chiarissimi.

ps
un giudizio sul libro di testo che uso me lo lasciate?cosi me oriento...

ps2
che cos'è la scrittura LATEX?come se fa?

thanks