Analisi uno

[mistergiovax]

salve,
volevo un'informazione (non so usare latex...)
ve lo scrivo a parole:

limite per n-> +infinito di

((radice ennesima di a) più uno tutto fratto due)^n

cioè, quello che è nella parentesi va tutto elevato alla enne

con n:naturale e a:reale strettamente positivo

C'è un modo rapido (relativamente) per trovare la soluzione?
(P.S. io ci ho messo una mezzoretta e ho trovato la soluzione dopo circa una quarantina di passaggi... Probabilmente mi è sfuggito qualche limite notevole)

-grazie-

[mistergiovax]

Provo a vedere se mi riesce il giochetto di prestigio:

$ ({\frac{\sqrt[n]{a}+1} 2})^n $

vedendo l'anteprima, sembra di si (almeno non sono un buono a nulla!)

comunque enne tende a +infinito

ciao e grazie

[salva90]

Te lo scrivo per bene:

$ \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\bigg(\frac{\sqrt[n] a+1}{2}\bigg)^n $

Ps: per imparare il latex vai nell'apposita sezione

[mistergiovax]

ringrazio 'salva90'

comunque si, è proprio quello.

P.S. perdonatemi se non so usare lateX, ma la cosa più 'informatica' che mi hanno insegnato alle superiori è il turbo pascal...

[hydro]

EDIT: scusate, avevo scritto delle cose terrbili!

[salva90]

Lo puoi vedere anche così allora:
se $ n\to +\infty $ allora $ $\sqrt[n]a\to0 $, quindi $ \displaystyle\frac{\sqrt[n]a+1}2\to\frac12 $ e $ $\bigg(\frac12\bigg)^n\to0 $

[MindFlyer]

Qui stiamo un po' delirando.
Prego chiunque non abbia seguito un corso di Analisi di tacere o si fa una confusione indecorosa.

Intanto, $ \sqrt[n]a \to 1 $, e non 0.
Poi (e qui rispondo a hydro), il logaritmo è limitato (e >0 o <0 a seconda se a>1 o a<1), ma questo non implica nulla, visto che poi è moltiplicato per n. E questo lascia il prodotto nella forma indeterminata infinito*0.

[MindFlyer]

A me il limite viene $ \sqrt a $.
Ho usato 2 limiti notevoli, non è difficile.

[salva90]

E' vero, ho toppato paurosamente, me ne sono accorto solo di dopo.
Ero poco lucido causa leggero malessere, mi spiace ragazzi .
Dopo uno sguardo più attento concordo con Mindflyer.
Scusate ancora ragazzi

[Simo_the_wolf]

Più in generale:

$ \displaystyle \lim_{\alpha \to 0} \left( \frac {x_1^{\alpha} + x_2^{\alpha} + ... + x_k^{\alpha} }k \right ) ^{\frac 1{\alpha} } = \sqrt [k] { x_1x_2...x_k } $

Cioè la media $ \alpha $-esima per $ \alpha \to 0 $ è la media geometrica.

[SkZ]

$ \displaystyle \left( \frac {x_1^{\alpha} + x_2^{\alpha} + ... + x_n^{\alpha} }{k}\right ) ^{\frac 1{\alpha} } = \frac{\|(x_1, \dots, x_n)\|_\alpha}{\sqrt[\alpha]{k}} $
$ \|(x_1, \dots, x_n)\|_p $ e' la norma p. $ \|(x_1, \dots, x_n)\|_\infty=\max\{|x_1|, \dots, |x_n|\} $

Si lo so: ho una mania per la norma

[mistergiovax]

ringrazio MindFlyer, comunque anche a me riporta $ \sqrt[2]a $ però ho fatto almeno una trentina di passaggi cambiando 5-6 volte variabile. Di limiti notevoli ne ho usati almeno 7-8.
Comunque,il fatto che riporta anche a me $ \sqrt[2]a $ mi fa sperare di aver passato metà analisi 1.
ciao e grazie.

[MindFlyer]

Usa i limiti notevoli:

$ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a $ (1), e
$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( 1+ \frac 1 n \right)^n=e $ (2).

Dall'(1) ricavi $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} (a^{1/n}-1)n=\ln a $.
Riscrivendo il tuo limite come $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \frac{(a^{1/n}-1)n}{2n}+1 \right)^n $, puoi sostituire ottenendo $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left(\frac{\ln a}{2n}+1\right)^n $.
Poi, con un cambiamento di variabile e grazie al (2), ricavi $ e^{\frac{\ln a}{2}}=\sqrt a $.

[MateCa]

Scusate l'intromissione, ma qualcuno mi può spiegare più dettagliatamente il passaggio...

Riscrivendo il tuo limite come $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \frac{(a^{1/n}-1)n}{2n}+1 \right)^n $, puoi sostituire ottenendo $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left(\frac{\ln a}{2n}+1\right)^n $.

Grazie.

[SkZ]

sai che
$ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a $

$ \displaystyle \lim_{n\to \infty}\left( \frac{(a^{1/n}-1)n}{2n}+1 \right)^n=\lim_{n\to \infty} \left( \frac{\frac{(a^{1/n}-1)}{\frac{1}{n}}}{2n}+1 \right)^n= $$ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left( \frac{\ln{a}}{2n}+1 \right)^n $