OliForum Matematico

Determinare tutte le soluzioni in interi positivi dell'equazione $ n = 2 + \phi(n) + \tau(n) $, dove $ \tau(\cdot) $ indica il numero dei divisori interi positivi del suo argomento.

Domandina: tra i divisori del numero vanno conteggiati anche 1 e il numero stesso? In altri termini $ \tau(p) $ con p numero primo vale 1 o $ p+1 $

Naturalmente sì.

Scusa una domanda Hit....
Tu hai detto che tra i divisori del numero bisogna conteggiare anche il numero stesso? perchè se è così tau(n)>n......e allora.......

Ehm... Adesso capisco il senso della tua domanda! Il punto è che ho definito scorretamente $ \tau(\cdot) $. Edito subito.

ah..ok! infatti mi pareva che tu avessi utilizzato lo stesso simbolismo per l'altro problema simile......
Comunque cerco di darne una soluzione parziale.....

Intanto possiamo dire che sicuramente delle soluzioni ci sono, poichè quando n=10 oppure n=12, la relazione è verificata.
Notiamo che n non può essere primo altrimenti avremo che $ 0 = 3....... $
Se $ n = pq $ con p e q primi allora $ p + q=7 $ da cui la coppie (5,2) e (2,5).
Supponiamo che $ n=p^2q $ sempre con p e q primi, allora la coppia che verifica l'uguaglianza è p= 2 e q=3, quindi n =12.
Se $ n=2^kp $ con p un primo, allora svolgendo i calcoli notiamo che l'unica soluzione possibile è k =2 tornando cosi nel caso precedente.
Se $ n=p^kq $ troviamo che p e k non possono assumere valori maggiori di 2.
Se$ n=sp^k $ con p primo e s non primo e k dispari, svolgendo i calcoli si può vedere che non ci sono soluzioni se s è dispari.