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Livello challenging - riservato ai coraggiosi: siano $ b > 1 $ un intero ed $ a\in\mathbb{N}^+ $ tale che $ a \ne b^k $, per ogni $ k \in \mathbb{N} $. Detta $ s_b(n) $ la somma delle cifre della rappresentazione b-esimale di un generico $ n\in\mathbb{N} $, dimostrare che esiste il limite $ \displaystyle\lim_{n \to \infty} s_b(a^n) $ e calcolarne il valore.

il numero delle cifre di $ ~a^n $ e' $ ~\lfloor n\log_{b}{a}\rfloor +1 $
per $ ~n\rightarrow\infty $ il numero delle cifre tende a infinito. Quindi se la somma delle cifre ha limite finito vuol dire che le cifre non zero sono un numero discreto.
la cosa non mi convince se $ ~a $ non e' una potenza di $ ~b $, allora $ ~s_b(a^n)=1 $

ho campito male qualcosa? ovvero cosa non ho capito bene?

SkZ ha scritto:il numero delle cifre di $ ~a^n $ e' $ ~\lfloor n\log_{b}{a}\rfloor +1 $: per $ ~n\rightarrow\infty $ il numero delle cifre tende a infinito. [...] ho campito male qualcosa? ovvero cosa non ho capito bene?

Non ci hai capito nulla - temo. Che ci azzecca, infatti, il numero delle cifre?

HiTLeuLeR ha scritto:Detta $ s_b(n) $ la somma delle cifre della rappresentazione b-esimale di un generico $ n\in\mathbb{N} $

il numero di cifre mi dice il numero di addendi della somma delle cifre

SkZ ha scritto: il numero di cifre mi dice il numero di addendi della somma delle cifre

E con questo? In linea di principio, gli addendi potrebbero essere, per alcuni valori di $ n\in\mathbb{N} $, più zeri che altro. Questo potrebbe comportare che il limite indicato i) non esiste oppure ii) esiste finito. Per cui?

SkZ ha scritto:ho campito male qualcosa? ovvero cosa non ho capito bene?

Beh, dai, almeno su questo ci avevo preso!
Mi ero un po' confuso
a volte ( ) sono un po tardo

Almeno per favore usa una notazione da cui si capisca se "esiste il limite" vuol dire "esiste finito" oppure "esiste eventualmente infinito".
(piccolo consiglio: se guardi nei libri e negli articoli di matematica, di solito sono abbastanza pignoli nel descrivere in anticipo tutte le notazioni che usano, anche quelle banali o facilmente intuibili dal contesto come I=matrice identità, o $ \mathbb N=\{0,1,\ldots\} $. Nessuno ti legge nel pensiero, quindi...)

fph ha scritto:Almeno per favore usa una notazione da cui si capisca se "esiste il limite" vuol dire "esiste finito" oppure "esiste eventualmente infinito".
(piccolo consiglio: se guardi nei libri e negli articoli di matematica, di solito sono abbastanza pignoli nel descrivere in anticipo tutte le notazioni che usano, anche quelle banali o facilmente intuibili dal contesto come I=matrice identità, o $ \mathbb N=\{0,1,\ldots\} $. Nessuno ti legge nel pensiero, quindi...)

@fph: in verità, dirò che non so decidere a chi si rivolga questo tuo ultimo intervento, se a me oppure ad SkZ - unice in claris non est interpretatio, fortuna che ce l'hai appena rinfrescato. D'altronde, non può mancare sulla busta un'indicazione esplicita del destinatario: alle poste, infatti, non c'è nessuno abilitato a leggere il pensiero del mittente...

Con buona pace della tua vena polemica, Hit, mi sembrava abbastanza chiaro che fph si riferisse all'estensore del problema che ... oh, cielo, le coincidenze ... sei tu stesso.

Ne prendo atto, Ev - come al solito, sconvolto dal tuo acume. Dunque qual è la domanda? Cos'è mai che voglia indicare $ \mathbb{N} $? Be', tirando a indovinare, direi l'insieme $ \{0, 1, 2, \ldots\} $: non sono pienamente sicuro, ad ogni modo, di riuscirne ad elencare in modo esplicito tutti gli elementi! Oh cielo, che faccio? Cerco la risposta su qualche rivista di matematica? Help me, plz!!!

HiTLeuLeR ha scritto:Ne prendo atto, Ev - come al solito, sconvolto dal tuo acume. Dunque qual è la domanda? Cos'è mai che voglia indicare $ \mathbb{N} $? Be', tirando a indovinare, direi l'insieme $ \{0, 1, 2, \ldots\} $: non sono pienamente sicuro, ad ogni modo, di riuscirne ad elencare in modo esplicito tutti gli elementi! Oh cielo, che faccio? Cerco la risposta su qualche rivista di matematica? Help me, plz!!!

Prendere apertamente e ripetutamente per il culo due moderatori nell'esercizio delle loro funzioni: -99 punti. Ne avevi 100 a disposizione, vedi di farti bastare quello che ti rimane.
Per tua informazione, esistono matematici che definiscono $ \mathbb N = \{1,2,3,\dotsc\} $. Nel frattempo, sarebbe carino se tu ci dicessi anche se il limite può essere infinito o no. Senza tirarla troppo per le lunghe, grazie.

fph ha scritto: Prendere apertamente e ripetutamente per il culo due moderatori nell'esercizio delle loro funzioni: -99 punti. Ne avevi 100 a disposizione, vedi di farti bastare quello che ti rimane.

E' una minaccia? Ah, no... Mi dicono un avvertimento. Ad ogni modo, cosa faccio? Inizio a tremare? Quando si dice che ne ferisce più la penna che la spada... Del fatto che ti sia potuto sentir preso per i fondelli, sono dolente. L'intenzione era semplicemente polemica, come giustamente ha rilevato il tuo compare. Visto, tuttavia, il senso che le hai dato, fai bene ad alzarmi la voce contro: fosse mai che il popolo vedesse i suoi tiranni - com'è che hai detto? - presi il culo.

HiTLeuLeR ha scritto:[...] siano $ b > 1 $ un intero ed $ a\in\mathbb{N}^+ $ tale che $ a \ne b^k $, per ogni $ k \in \mathbb{N} $.

fph ha scritto:Per tua informazione, esistono matematici che definiscono $ \mathbb N = \{1,2,3,\dotsc\} $.

Ma il buon senso - se anche non altro - avrebbe dovuto comunque suggerire la risposta esatta, ovverosia la più verosimile: ammettendo, infatti, che non vi sia spazio all'equivoco nell'attribuire un senso al simbolo $ \mathbb{N}^+ $, che diavolo - ti dirai - potrebbe mai indicare il suo parente stretto $ \mathbb{N} $?

fph ha scritto:Nel frattempo, sarebbe carino se tu ci dicessi anche se il limite può essere infinito o no. Senza tirarla troppo per le lunghe, grazie.

Scoprirlo fa parte del problema: se te lo dico, ti levo già via metà del divertimento. E adesso non prendertela, su...