Me - surely a famous one: somma delle cifre b-esimali di n!

[HiTLeuLeR]

E' simile ad un altro che ho proposto appena qualche giorno fa (qui). Ed esattamente come l'altro è raccomandato esclusivamente ai più valorosi. Questo, tuttavia, è tanto più arduo.

Siano $ b > 1 $ un intero ed $ s_b(n) $ la somma delle cifre della rappresentazione $ b $-esimale di $ n $, per ogni $ n\in\mathbb{N} $. Dimostrare che, se $ b $ possiede almeno due divisori primi distinti, allora esiste il limite $ \displaystyle\lim_{n \to \infty} s_b(n!) $. Quindi calcolarlo.

Nota: qui $ \mathbb{N} = \{0, 1, 2, \ldots\} $.