q non divide n^p-p

[salva90]

Sia $ ~p $ un numero primo. Dimostrare che esiste un primo $ ~ q $ tale che $ n^p-p $ non è divisibile per $ ~q $ $ \forall n \in \mathbb{N} $

[HiTLeuLeR]

Sia $ a_p := (p^p-1)/(p-1) $. Banalmente $ \gcd(p-1,a_p) = 1 $, e perciò ogni divisore primo intero di $ a_p $ è necessariamente $ \equiv 1 \bmod p $. Allora $ a_p = (pk_1 + 1)(pk_2 + 1) \ldots (pk_r + 1) $, per opportuni $ r, k_1, \ldots, k_r \in \mathbb{N}^+ $. Intendiamo provare che esiste almeno un $ i = 1, 2, \ldots, r $ tale che $ p \nmid k_i $. Ammesso infatti il contrario: $ 1+p \equiv 1 + p + \ldots + p^{p-1} \equiv a_p \equiv 1 \bmod p^2 $, assurdo! Wlog, supponiamo dunque $ i = 1 $ e poniamo di conseguenza $ q = pk_1 + 1 $. Esista a questo punto $ n \in \mathbb{Z} $ tale che $ q \mid (n^p-p) $. Naturalmente, $ n $ è primo con $ q $, per cui (piccolo teorema di Fermat): $ 1 \equiv n^{pk_1} \equiv p^{k_1} \bmod q $. Questo tuttavia è assurdo, in quanto per costruzione $ \mbox{ord}_q(p) = p $ e $ p \nmid k_1 $. Ne risulta la tesi.

[HiTLeuLeR]

Rilancio - a questo punto dovrebbe essere evidente:

"Dimostrare che, per ogni primo $ p \in \mathbb{N} $, esistono infiniti altri primi naturali $ q $ tali che $ n^p-p $ non è divisibile per $ q $, qualunque sia $ n\in\mathbb{Z} $."