Prima di questo teorema ci serve un risultato e delle definizioni che io ora vi daro che applicheremo durante la dimostrazione
AIUTO GRAZIE
ANCHE SE RIUSCITE A MOTIVARE ALMENO UNO DI QUESTI PASSAGGI VE NE SARO GRATA
DEFINIZIONI (PRIMA DI TUTTO)
G soddisfa la condizione sui sottogruppi non pronmormali quando non esiste una successione strettamente decrescente di sottogruppi non pronormali di G OPPURE esiste uan successione decrescente di sottogruppi non pronormali L_n
tale che per ogni n maggiore e uguale di m L_n=L_m
G gruppo sia , H sottogruppo normale in G se e solo se H è pronormale in G e H è acendente in G
Di solito questo teorema serve sempre perche se so che un sottogruppo è normale in G allora posso dire che è ascendente e pronormale e viceversa
se pero ad esempio H è ascendente ma non è normale allora sono sicura che non è pronormale
COROLLARIO:
Se G è un gruppo che soddisfa la condizione minimale sui sottogruppi non pronormali e sia
N un sottogruppo normale ,nilpotente, non periodico di G
Allora N è contenuto in Z(G) (centro del gruppo G)
TEOREMA:
Sia G un gruppo risolubile e finitamente generato in piu supponiamo che lo stesso G sia per-finito non periodico [significa che esiste un sottogruppo N normale di G tale che G/N è un sottogruppo finito non periodico]
Allora si dimostra che G è abeliano
DIMOSTRAZIONE
Ammettiamo che G’(il derivato di G ovvero il sottogruppo generato dai commutatori di G ,in simboli: <[x,y]/ x,y sono elementi di G) sia periodico allora il gruppo quoziente G/G(k-1) [ sto intendendo G fratto il derivato (k-1)esimo di G ]è non periodico e percio abeliano cosicche k=2(perche?)
E G’[derivato di G] è un gruppo periodico abeliano.
Sia x un elemento di G’ allora la chiusura normale x^G è un gruppo abeliano di esponente finitoperche?) eogni sottogruppo proprio di x^G contenuto in <x> non è pronormale in G (perche?)).Quindi x^G/<x> soddisfa la condizione minimale sui sottogruppi e percio è finito cosicche anche x^G è finito.(perche?
Sia a un elemento di ordine infinito di G e n un intero positivo tale che [a^n,x^G]=1
Allora <a>è un sottogruppo abeliano normale di <a>(perche?)e da un corollario segue che
<a> sta in Z(<a>) [centro del sottogruppo generato da a e x^G]
Segue che <a> è nilpotente e percio abelianoperche?)
Quindi <a> è abeliano(perche?) e ancora una volta un corallario ci dice che <a> è incluso nel Z(G)
Cosichhe G è nilpotente e quindi abeliano
per chi vuole aiuatarmi ....grazie mille
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