Legge di Gauss
Legge di Gauss
Una distribuzione di carica a simmetria sferica, ma radialmente non uniforme, genera un campo elettrico di intensità $ E=Kr^4 $, diretto radialmente verso l'esterno, ove $ r $ è la distanza radiale e $ K $ una costante. Calcolare la densità volumica $ \rho $ della distribuzione di carica.
Dalla I equazione di Maxwell sappiamo che $ \displaystyle \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon} $ da cui segue
$ \displaystyle \nabla \cdot Kr^4\vec{r} = \frac{\rho}{\epsilon} $ e - nella speranza di non sbagliare nabla in coordinate polari
$ \displaystyle \frac{\partial Kr^4}{\partial r}\vec{r}=\frac{\rho}{\epsilon} $
$ \displaystyle \rho = 4\epsilon K r^3 $
$ \displaystyle \nabla \cdot Kr^4\vec{r} = \frac{\rho}{\epsilon} $ e - nella speranza di non sbagliare nabla in coordinate polari
$ \displaystyle \frac{\partial Kr^4}{\partial r}\vec{r}=\frac{\rho}{\epsilon} $
$ \displaystyle \rho = 4\epsilon K r^3 $
Fulsere vere candidi tibi soles (Catullo)
mark86 ha scritto:Dalla I equazione di Maxwell sappiamo che $ \displaystyle \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon} $ da cui segue
$ \displaystyle \nabla \cdot Kr^4\vec{r} = \frac{\rho}{\epsilon} $ e - nella speranza di non sbagliare nabla in coordinate polari
$ \displaystyle \frac{\partial Kr^4}{\partial r}\vec{r}=\frac{\rho}{\epsilon} $
$ \displaystyle \rho = 4\epsilon K r^3 $
scusa ma potresti spiegarmelo in un modo un po' più semplice? sono solo in quarta e capisco al massimo gli integrali e le derivate normali...comunque sull'Halliday da come risultato $ \rho=6\epsilon Kr^3 $
mi dispiace rovinare le tue speranzemark86 ha scritto: nella speranza di non sbagliare nabla in coordinate polari
:se non dipende dalle coordinate angolari
$ $\nabla\cdot \vec{F}=\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial (\rho^2 F_\rho)}{\partial\rho}$ $
la prima legge di maxwell (o legge di gauss) dice che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa e' proporzionale alla carica all'interno della superficie. Ovvero utilizzando il relativo teorema matematico, si ha che il flusso di un campo attraverso una superficie chiusa e' pari all'integrale della divergenza del campo sul volume racchiuso dalla superficie. Se si ha una distribuzione continua di carica, la carica totale e' pari alla densita' di carica integrata sul volume in questione. I teoremi di analisi ci dicono che due integrali con stessi estremi d'integrazione sono uguali se e solo se sono uguali gli integrandi. da qui si ottiene che la divergenza del campo e' proporzionale alla densita' di carica e la constante di proporzionalita' e' l'inverso della costante dielettrica
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Le mie conoscenze di analisi sono così infime e approssimative che potrei fare qualche atrocità nella risoluzione che segue. Comunque, prendi una superficie sferica di raggio r:
$ \epsilon_0 \int{\vec{E}\cdot d\vec{A}}=q_{int} $
$ \epsilon_0 K r^4 (4 \pi r^2) = q_{int} $
La carica interna è anche esprimibile come $ \int{\rho dV} $. Perciò:
$ 4 \pi \epsilon_0 K r^6 = \int{\rho dV} = \frac{4}{3} \pi \int{\rho dr^3} $
Da cui si ha (DOMANDA: quanto segue si può fare?):
$ 3 \epsilon_0 K \frac{dr^6}{dr^3} = \rho $ da cui $ \rho = 6 \epsilon_0 K r^3 $
$ \epsilon_0 \int{\vec{E}\cdot d\vec{A}}=q_{int} $
$ \epsilon_0 K r^4 (4 \pi r^2) = q_{int} $
La carica interna è anche esprimibile come $ \int{\rho dV} $. Perciò:
$ 4 \pi \epsilon_0 K r^6 = \int{\rho dV} = \frac{4}{3} \pi \int{\rho dr^3} $
Da cui si ha (DOMANDA: quanto segue si può fare?):
$ 3 \epsilon_0 K \frac{dr^6}{dr^3} = \rho $ da cui $ \rho = 6 \epsilon_0 K r^3 $
A quanto pare le mie conoscenze di analisi sono ancora minori...
Avevo seguito anch'io il tuo ragionamento ma poi ho sviluppato $ \int \rho dV=\rho V $ non facendo caso al fatto che $ \rho $ dipende dal raggio...(è questo l'errore vero?). Per il resto il tuo ragionamento sembra funzionare. Grazie mille per l'aiuto.
Avevo seguito anch'io il tuo ragionamento ma poi ho sviluppato $ \int \rho dV=\rho V $ non facendo caso al fatto che $ \rho $ dipende dal raggio...(è questo l'errore vero?). Per il resto il tuo ragionamento sembra funzionare. Grazie mille per l'aiuto.
Io l'ho risolto così (anche io potrei aver commesso atrocità ):
Dato che
$ \displaystyle E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} $ e che $ \displaystyle E = Kr^4 $ allora
$ \displaystyle \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} = Kr^4 $
Inoltre
$ \displaystyle q=\int dq= \int_0^r \rho dV $
$ \displaystyle dV= \frac{4}{3} \pi (r+dr)^3 - \frac{4}{3} \pi (r)^3 = $
$ \displaystyle dV= \frac{4}{3} \pi (r^3 + 3r^2dr+ 3 rdr^2 + dr^3-r^3) $
Considerando $ \displaystyle dr^2 $ e $ \displaystyle dr^3 $ molto piccoli rispetto a dr (lo so, è un approssimazione e non piace nemmeno a me, ma temo che per evitarla servirebbe un integrale triplo)
$ \displaystyle dV \approx 4 \pi r^2 dr $
e $ \displaystyle q \approx \int_0^r \rho 4 \pi r^2 dr $
ottengo
$ \displaystyle \frac{\int_0^r \rho 4 \pi r^2 dr}{4 \pi \epsilon_0 r^2}= Kr^4 $ => $ \displaystyle \int_0^r \rho r^2 dr= \epsilon_0 Kr^6 $
Considerando che la derivata è l'operazione inversa dell'integrazione, derivo ambo i membri ottenendo
$ \displaystyle \rho r^2=6 \epsilon_0 K r^5 $ =>$ \displaystyle \rho =6 \epsilon_0 K r^3 $
Lo so, in effetti, è abbastanza simile alla risoluzione di Pigkappa, cambia solo un po' la risoluzione matematica alla fine ed il fatto che invece di utilizzare la legge di Gauss ho utlizzato il teorema del guscio sferico.
Ho comunque pensato che forse poteva essere utile.
Startrek
):Dato che
$ \displaystyle E = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} $ e che $ \displaystyle E = Kr^4 $ allora
$ \displaystyle \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} = Kr^4 $
Inoltre
$ \displaystyle q=\int dq= \int_0^r \rho dV $
$ \displaystyle dV= \frac{4}{3} \pi (r+dr)^3 - \frac{4}{3} \pi (r)^3 = $
$ \displaystyle dV= \frac{4}{3} \pi (r^3 + 3r^2dr+ 3 rdr^2 + dr^3-r^3) $
Considerando $ \displaystyle dr^2 $ e $ \displaystyle dr^3 $ molto piccoli rispetto a dr (lo so, è un approssimazione e non piace nemmeno a me, ma temo che per evitarla servirebbe un integrale triplo)
$ \displaystyle dV \approx 4 \pi r^2 dr $
e $ \displaystyle q \approx \int_0^r \rho 4 \pi r^2 dr $
ottengo
$ \displaystyle \frac{\int_0^r \rho 4 \pi r^2 dr}{4 \pi \epsilon_0 r^2}= Kr^4 $ => $ \displaystyle \int_0^r \rho r^2 dr= \epsilon_0 Kr^6 $
Considerando che la derivata è l'operazione inversa dell'integrazione, derivo ambo i membri ottenendo
$ \displaystyle \rho r^2=6 \epsilon_0 K r^5 $ =>$ \displaystyle \rho =6 \epsilon_0 K r^3 $
Lo so, in effetti, è abbastanza simile alla risoluzione di Pigkappa, cambia solo un po' la risoluzione matematica alla fine ed il fatto che invece di utilizzare la legge di Gauss ho utlizzato il teorema del guscio sferico.
Ho comunque pensato che forse poteva essere utile.
Startrek