Siano $ ~ a,b,c,d,e,f,g,h $ numeri reali.
Dimostrare che almeno uno dei seguenti numeri è non negativo:
$ ~ ac + bd $
$ ~ ae + bf $
$ ~ ag + bh $
$ ~ ce + df $
$ ~ cg + dh $
$ ~ eg + fh $
Uno di questi 6 non è negativo
Uno di questi 6 non è negativo
Ecco un esercizio che fa di tutto per sembrare brutto:
Siano $ ~ a,b,c,d,e,f,g,h $ numeri reali.
Dimostrare che almeno uno dei seguenti numeri è non negativo:
$ ~ ac + bd $
$ ~ ae + bf $
$ ~ ag + bh $
$ ~ ce + df $
$ ~ cg + dh $
$ ~ eg + fh $
Siano $ ~ a,b,c,d,e,f,g,h $ numeri reali.
Dimostrare che almeno uno dei seguenti numeri è non negativo:
$ ~ ac + bd $
$ ~ ae + bf $
$ ~ ag + bh $
$ ~ ce + df $
$ ~ cg + dh $
$ ~ eg + fh $
ci provo io. . .è la prima volta che faccio problemi del genere quindi non so se sto azzeccando,manca qualcosa o sono lontano mille miglia 
io ho affrontato il problema in questa maniera: dopo una serie di prove, ho determinato quali numeri devono essere positivi e quali negativi per avere almeno un numero non negativo
positivi a, b, f, h
negativi c, d, e, g
ora,facendo i vari calcoli
ac + bd = negavito + positivo
ae + bf = negativo + negativo = negativo
ag + bh = negativo + negativo = negativo
ce + df = positivo + negativo
cg + dh = negativo + positivo
eg + fh = positivo + positivo = positivo
da questo risulta che due numeri sono sicuramente negativi, che uno è sicuramente positivo , e che gli altri 3 possono essere o positivi, o negativi o nulli.
infatti
|ac| >= bd ==> ac + bd = non negativo
|df| >= ce ==> ce + df = non negativo
|cg| >= dh ==> cg + dh = non negativo
di conseguenza, c'è ALMENO un numero non negativo, ma se ne possono avere fino a 4.
questa è la mia dimostrazione, ma ripeto che non so quanto sia valida:P intanto c'ho provato;)
io ho affrontato il problema in questa maniera: dopo una serie di prove, ho determinato quali numeri devono essere positivi e quali negativi per avere almeno un numero non negativo
positivi a, b, f, h
negativi c, d, e, g
ora,facendo i vari calcoli
ac + bd = negavito + positivo
ae + bf = negativo + negativo = negativo
ag + bh = negativo + negativo = negativo
ce + df = positivo + negativo
cg + dh = negativo + positivo
eg + fh = positivo + positivo = positivo
da questo risulta che due numeri sono sicuramente negativi, che uno è sicuramente positivo , e che gli altri 3 possono essere o positivi, o negativi o nulli.
infatti
|ac| >= bd ==> ac + bd = non negativo
|df| >= ce ==> ce + df = non negativo
|cg| >= dh ==> cg + dh = non negativo
di conseguenza, c'è ALMENO un numero non negativo, ma se ne possono avere fino a 4.
questa è la mia dimostrazione, ma ripeto che non so quanto sia valida:P intanto c'ho provato;)
Vado con la mia:
Consideriamo i quattro vettori sul piano cartesiano (a,b), (c,d), (e,f), (g,h). I sei numeri sono i prodotti scalari a due a due. Perchè siano tutti e sei negativi ogni coppia di vettori deve formare un angolo ottuso. Ma questo è impossibile perchè la somma degli angoli delle coppie di vettori consecutivi è uguale a 360 gradi.
Consideriamo i quattro vettori sul piano cartesiano (a,b), (c,d), (e,f), (g,h). I sei numeri sono i prodotti scalari a due a due. Perchè siano tutti e sei negativi ogni coppia di vettori deve formare un angolo ottuso. Ma questo è impossibile perchè la somma degli angoli delle coppie di vettori consecutivi è uguale a 360 gradi.
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph
La dimostrazione di mecreddle purtroppo non sembra funzionare... come dimostri che deve essere:
positivi a, b, f, h
negativi c, d, e, g
?
Quella di sisifo invece va benissimo
La cosa più importante era notare le simmetrie del problema, non erano prodotti messi a caso. Rinominando le lettere come $ ~ a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,a_4,b_4 $ poteva già essere un buon passo in avanti per pensare ai prodotti scalari.
positivi a, b, f, h
negativi c, d, e, g
?
Quella di sisifo invece va benissimo
La cosa più importante era notare le simmetrie del problema, non erano prodotti messi a caso. Rinominando le lettere come $ ~ a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,a_4,b_4 $ poteva già essere un buon passo in avanti per pensare ai prodotti scalari.