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Ecco un esercizio che fa di tutto per sembrare brutto:

Siano $ ~ a,b,c,d,e,f,g,h $ numeri reali.
Dimostrare che almeno uno dei seguenti numeri è non negativo:
$ ~ ac + bd $
$ ~ ae + bf $
$ ~ ag + bh $
$ ~ ce + df $
$ ~ cg + dh $
$ ~ eg + fh $

ci provo io. . .è la prima volta che faccio problemi del genere quindi non so se sto azzeccando,manca qualcosa o sono lontano mille miglia

io ho affrontato il problema in questa maniera: dopo una serie di prove, ho determinato quali numeri devono essere positivi e quali negativi per avere almeno un numero non negativo

positivi a, b, f, h
negativi c, d, e, g

ora,facendo i vari calcoli

ac + bd = negavito + positivo
ae + bf = negativo + negativo = negativo
ag + bh = negativo + negativo = negativo
ce + df = positivo + negativo
cg + dh = negativo + positivo
eg + fh = positivo + positivo = positivo

da questo risulta che due numeri sono sicuramente negativi, che uno è sicuramente positivo , e che gli altri 3 possono essere o positivi, o negativi o nulli.
infatti
|ac| >= bd ==> ac + bd = non negativo
|df| >= ce ==> ce + df = non negativo
|cg| >= dh ==> cg + dh = non negativo

di conseguenza, c'è ALMENO un numero non negativo, ma se ne possono avere fino a 4.


questa è la mia dimostrazione, ma ripeto che non so quanto sia valida:P intanto c'ho provato;)

Vado con la mia:
Consideriamo i quattro vettori sul piano cartesiano (a,b), (c,d), (e,f), (g,h). I sei numeri sono i prodotti scalari a due a due. Perchè siano tutti e sei negativi ogni coppia di vettori deve formare un angolo ottuso. Ma questo è impossibile perchè la somma degli angoli delle coppie di vettori consecutivi è uguale a 360 gradi.

La dimostrazione di mecreddle purtroppo non sembra funzionare... come dimostri che deve essere:
positivi a, b, f, h
negativi c, d, e, g
?

Quella di sisifo invece va benissimo
La cosa più importante era notare le simmetrie del problema, non erano prodotti messi a caso. Rinominando le lettere come $ ~ a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3,a_4,b_4 $ poteva già essere un buon passo in avanti per pensare ai prodotti scalari.

ero andato a tentativi. . .cos'è un prodotto scalare?

Siano $ (a_1, a_2, ..., a_n) $ e $ (b_1, b_2, ..., b_n) $ due vettori. Il loro prodotto scalare è il numero $ a_1*b_1+a_2*b_2+...+a_n*b_n $. Per due vettori nel piano, il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli per il coseno dell'angolo compreso tra i vettori.