OliForum Matematico

Sto parlando della curva descritta per esempio da un filo di spago appeso a due chiodi piantati su un muro alla stessa altezza...

che genere di curva è, come se ne trova l'equazione e in base a quali parametri?
è una funzione o è un'equazione parametrica?

illuminatemi mostrando più passaggi e formule possibili... grazie

mi sa che e' un po' ot come argomento, piu' adatto a MNE, quindi risposta breve
catenaria http://it.wikipedia.org/wiki/Catenaria http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary
$ $y=a\cosh{\frac{x}{a}}$ $

come ci si arriva? si dimostra in qualche modo? magari da un sistema statico?

se vuoi la dim allora e' piu' adatto spostarsi in Fisica: moderatoreeee!....cambio!

non saprei dirti: mai provato seriamente.
comunque essendo un sistema in equilibrio in quiete per forza e' statico

Metti l'origine nel punto più basso della curva, di modo che gli estremi siano ad altezza h, distanza L e che la corda sia lunga S, con densità lineare m.
Ora, se scomponi la tensione della corda in componente orizzontale e verticale, vedrai facilmente che quella orizzontale non dipende da dove ti trovi (la forza peso che agisce sulla corda è verticale). Sia H questa componente orizzontale della tensione.
Se scriviamo T(x)=H+V(x), avremo che V(x)=H*y'(x) dove y(x) è l'equazione della nostra curva.
Quindi dV=H*y''(x)dx. Ora, se consideri due punti x e x+dx, il bilancio delle forze sarà che la somma delle tensioni agli estremi più la forza peso deve essere zero, quindi
V(x+dx)-V(x)-m*ds=0
dove ds è la lunghezza della corda tra x e dx.
Approssimando al prim'ordine si ha
V(x+dx)=V(x)+dV=V(x)+H*y''(x)dx
e inoltre
$ ds=(1+y'(x)^2)^{1/2}dx $
quindi
$ Hy''(x)dx=m\sqrt{1+y'(x)^2}dx $ ovvero
$ \frac{dy'}{\sqrt{1+y'(x)^2}}=\frac{m}{H}dx $
e integrando
$ \sinh^{-1}(y'(x))=\frac{m}{H}x $
ovvero
$ y'(x)=\sinh(mx/H) $ 
e integrando ancora
$ y(x)=\frac{H}{m}(\cosh(\frac{m}{H}x)-1) $
Poichè abbiamo scelto l'origine di modo che y(0)=y'(0)=0.
Ora, calcolando la lunghezza della corda si ottiene che
$ S=\frac{2H}{m}\sinh(\frac{mL}{2H}) $
ovvero
$ H=\frac{m}{8h}(S^2-4h^2) $.
Da ciò sostituendo si ricava l'equazione in termini di m,h,S,L.

ok grazie...

e come si spiegano le proprietà che c'erano su wikipedia inglese (tipo ruota quadrata, ecc)?