Somma con i binomiali

[piever]

Questo e' un lemmino venuto fuori mentre provavo c5 (Iran).

I fatti che questo lemma sia disutile e che poi l'esercizio non l'ho finito sono secondari...

Comunqua sia, per ogni $ m $ intero positivo, dimostrare che:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^m {m\choose i}^2={2m\choose m} $

O, piu' genericamente, che:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{m} {a\choose i}{{2m-a}\choose{m-a+i}}={2m\choose m} $

per qualsiasi $ 0\leq a\leq 2m $

(se in un binomiale succedono cose strane, tipo che gli elementi da scegliere sono piu degli elementi tra cui scegliere, oppure sono in una quantita' negativa, etc., quel binomiale vale 0)

[enomis_costa88]

Bello piva!

Prendiamo 2n palline.
Dobbiamo colorarne n di rosso.
Dividiamo le 2n palline in due insiemi uno di a palline l'altro di 2n-a palline.
Adesso coloriamo i palline di rosso nel primo insieme e n-i nel secondo.
Nel secondo insieme le palline non colorate saranno quindi n-a+i.
Da ciò si deduce facilmente la tesi.