OliForum Matematico

Questo e' un lemmino venuto fuori mentre provavo c5 (Iran).

I fatti che questo lemma sia disutile e che poi l'esercizio non l'ho finito sono secondari...

Comunqua sia, per ogni $ m $ intero positivo, dimostrare che:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^m {m\choose i}^2={2m\choose m} $

O, piu' genericamente, che:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{m} {a\choose i}{{2m-a}\choose{m-a+i}}={2m\choose m} $

per qualsiasi $ 0\leq a\leq 2m $

(se in un binomiale succedono cose strane, tipo che gli elementi da scegliere sono piu degli elementi tra cui scegliere, oppure sono in una quantita' negativa, etc., quel binomiale vale 0)

Bello piva!

Prendiamo 2n palline.
Dobbiamo colorarne n di rosso.
Dividiamo le 2n palline in due insiemi uno di a palline l'altro di 2n-a palline.
Adesso coloriamo i palline di rosso nel primo insieme e n-i nel secondo.
Nel secondo insieme le palline non colorate saranno quindi n-a+i.
Da ciò si deduce facilmente la tesi.