Incentro e punto di Nagel

[pi_greco_quadro]

Si provi che l'incentro di un triangolo è anche il punto di Nagel del triangolo determinato dai punti medi dei lati del triangolo di partenza

Ciao

[MateCa]

Scusate l'ignoranza, ma io proprio ignoro cosa sia un punto di Nagel...

[pic88]

i segmenti che congiungono i vertici di un triangolo coi punti di tangenza delle crf exinscritte concorrono nel punto di Nagel...
tra l'altro dimostrare la tesi proposta porta a trovare una relazione tra
-baricentro
-incentro
- punto di Nagel

analoga a quella tra

-baricentro
- ortocentro
- circocentro

[enomis_costa88]

Il punto di Nagel è il coniugato isotomico del punto di Gergonne.

Il problema mi sa dovrebbe tornare usando le coordinate affini

$ a=y+z $
$ b=z+x $
$ c=x+y $

In un triangolo generico valgono le seguenti (da dimostrare per esercizio):
$ I = \frac{1}{a+b+c}(aA+bB+cC) $
$ N= \frac{1}{x+y+z}(xA+yB+zC) $

quindi il punto di Nagel del triangolo dei punti medi è:
$ N=\frac{1}{x+y+z}(xA'+yB'+zC') $
$ =\frac{1}{x+y+z}(x\frac{C+B}{2}+y\frac{A+C}{2}+z\frac{A+B}{2}) $
$ =\frac{1}{x+y+z}(\frac{y+z}{2}A+\frac{x+z}{2}B+\frac{y+x}{2}C) $
$ = I $