Trovare tutte le soluzioni $ x,y,\in\mathbb{Z} $ di:
$ x^2=y^3-1 $
Buon lavoro!
Forse noto, x^2=y^3-1
Forse noto, x^2=y^3-1
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
Bah, vediamo se funzionano sti roboanti primi di Gauss 
Allora, riscriviamola come:
$ ~ (x+i)(x-i) = y^3 $
Ora, se y fosse pari, avremo $ ~ x^2 \equiv -1 \pmod 4 $, assurdo, quindi y è dispari.
Usiamo ora il fatto che gli interi di Gauss sono a fattorizzazione unica.
Se un primo (di Gauss) divide sia x+i sia x-i, divide la loro differenza che è 2i. 2 si scompone come (1+i)(1-i), che sono primi. Se uno di questi divide y, allora la loro norma divide la norma di y, quindi 2 divide y^2, ma y è dispari.
Quindi x+i e x-i sono primi tra loro. Quindi sono entrambi cubi perfetti.
Cioè, $ ~ x+i = (a+ib)^3 = (a^3-3ab^2) + (3a^2bi - ib^3) $. Però l'angolino x+i è abbastanza stretto... cioè, vediamo meglio: comparando la parte immaginaria, dovremo avere $ ~ 3a^2b - b^3 = 1 $, da cui facilmente $ ~ (a,b) = (0,-1) $. Cioè $ ~ (x+i) = (-i)^3 = i, x=0 $.
Quindi l'unica soluzione è
(0,1).
Allora, riscriviamola come:
$ ~ (x+i)(x-i) = y^3 $
Ora, se y fosse pari, avremo $ ~ x^2 \equiv -1 \pmod 4 $, assurdo, quindi y è dispari.
Usiamo ora il fatto che gli interi di Gauss sono a fattorizzazione unica.
Se un primo (di Gauss) divide sia x+i sia x-i, divide la loro differenza che è 2i. 2 si scompone come (1+i)(1-i), che sono primi. Se uno di questi divide y, allora la loro norma divide la norma di y, quindi 2 divide y^2, ma y è dispari.
Quindi x+i e x-i sono primi tra loro. Quindi sono entrambi cubi perfetti.
Cioè, $ ~ x+i = (a+ib)^3 = (a^3-3ab^2) + (3a^2bi - ib^3) $. Però l'angolino x+i è abbastanza stretto... cioè, vediamo meglio: comparando la parte immaginaria, dovremo avere $ ~ 3a^2b - b^3 = 1 $, da cui facilmente $ ~ (a,b) = (0,-1) $. Cioè $ ~ (x+i) = (-i)^3 = i, x=0 $.
Quindi l'unica soluzione è
(0,1).