Geometria endovena

[Simo_the_wolf]

1) Date $ A,B $ due matrici $ n $x$ n $Dimostrare che se $ AB+A+B=0 $ allora $ AB=BA $.

2) Sia data una matrice quadrata $ A $ tale che $ 3A^3=A^2+A+I $. Dimostrare che per $ k \to \infty $ $ A^k $ converge ad una matrice $ B $ idempotente (cioè tale che $ B^2=B $).


P.S.: convergenza non so precisamente cosa si intende però è abbastanza intuitivo...

[rand]

L'1) si può far vedere così:

$ AB + A + B = 0 $ => $ (A+I)(B+I) = I $ => $ (B+I)(A+I) = I $ => $ BA + A + B = 0 $ => $ AB = BA $

Un fatto simpatico, equivale a dire che se il prodotto di due matrici è uguale alla loro somma allora le due matrici commutano.

[fph]

Funzionare funziona, ma io giustificherei un po' meglio il fatto che
$ (A+I)(B+I)=I \Rightarrow (B+I)(A+I)=I. $
mi sembra che non funzioni in tutti gli anelli, quindi qualche proprietà delle matrici ci serve.
Per il (2): Simo, ma avete già fatto autovalori e polinomio minimo o è pensato per esser fatto senza?

ciao,
e evviva la matrix algebra (anche sul forum)

[Katerina89]

2) Sia data una matrice quadrata $ A $ tale che $ 3A^3=A^2+A+I $. Dimostrare che per $ k \to \infty $ $ A^k $ converge ad una matrice $ B $ idempotente (cioè tale che $ B^2=B $).

Io nn so' molto cose' la convergeza eh... pero' mi e' venuta questa idea ehh... scusa se non funzia...


considera che

$ 3A^2+2A+I=(A^2+A+I)+2A^2+ $
$ +A=3A^3+2A^2+A=A(3A^2+2A+I) $

Quindi per indizione $ 3A^2+2A+I=3A^{n+2}+2A^{n+1}+A^n $, chiamiamo questa quantita' $ K $

Si vede che $ A^{n+2}=\frac{K}{3}-\frac{2}{3}A^{n+1}-\frac{1}{3}A^n $
quindi, con poco sforzo
$ A^{n+3}=\frac{1}{9}K+\frac{1}{9}A^{n+1}+\frac{2}{9}A^n $
o, che e' propio lo stesso eh...
$ (A^{n+3}-\frac{K}{6})=\frac{1}{9}(A^{n+1}-\frac{K}{6})+\frac{2}{9}(A^n-\frac{K}{6}) $

Ora, io non e' che ne sappia tanto di cose che convergono, xo' da questo si vede che la quantita' $ A^n-\frac{K}{6} $ diventa sempre piu' piccola eh... Quindi se potessi dire che allora $ A^n $ converge a $ \frac{K}{6} $ allora potrei provare a fare cosi' eh...

$ B^2=(\frac{K}{6})^2=(\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{3}A+\frac{1}{6}I)^2= $
$ =\frac{1}{4}A^4+\frac{1}{9}A^2+\frac{I}{36}+\frac{A^3}{6}+\frac{1}{6}A^2+\frac{A}{9}= $
$ =\frac{1}{4}A(\frac{A^2}{3}+\frac{1}{3}A+\frac{1}{3})+\frac{1}{9}A^2+\frac{1}{36}I+\frac{1}{3}(\frac{1}{3}A^2+\frac{A}{3}+\frac{I}{3})+\frac{1}{6}A^2+\frac{1}{9}A= $
$ =\frac{1}{12}\frac{A^2+A+I}{3}+\frac{1}{12}A^2+\frac{A}{12}+\frac{1}{9}A^2+frac{I}{36}+\frac{A^2}{9}+\frac{A}{9}+frac{I}{9}+frac{1}{6}A^2+\frac{1}{9}A= $
$ =A^2(\frac{1}{36}+\frac{1}{12}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{6})+A(\frac{1}{36}+\frac{1}{12}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9})+\frac{1}{36}+\frac{1}{9}+\frac{1}{36}= $
$ =\frac{1}{2}A^2+\frac{1}{3}A+\frac{1}{6}I=\frac{K}{6}=B $

E' vera questa cosa secondo te???

Cia' e'!

[Simo_the_wolf]

Ok Katerina...

Si, ho fatto più o meno come te solo che ho sviluppato la successione per ricorrenza e ho visto che tendeva a quella cosa ($ \frac 16 (3A^2+2A+I) $). Volendo si può fare anche con autovalori o robba del genere ma non sono tanto esperto in ciò... Tipo che alla fine tutti gli autovalori diventano 1 o 0 e quindi la matrice è idempotente però non so formalizzarla perchè non ho gli strumenti...

Per l'altro esercizio il fatto che gli inversi commutino credo dipenda unicamente dal fatto che "invertibile a destra sse invertibile a sinistra" che immagino sia vero in qualunque anello... o perlomeno non mi vengono in mente controesempi

[fph]

Per l'altro esercizio il fatto che gli inversi commutino credo dipenda unicamente dal fatto che "invertibile a destra sse invertibile a sinistra" che immagino sia vero in qualunque anello... o perlomeno non mi vengono in mente controesempi

Questo dovrebbe controesempiare:
Sia V lo span (cioè lo spazio delle combinazioni lineari finite a coefficienti in un campo K) di infiniti vettori linearmente indipendenti $ e_1,e_2,\dotsc,e_n,\dotsc $; consideriamo l'anello delle applicazioni lineari da V in sé (esattamente come le matrici "sono" l'anello delle applicazioni lineari da uno spazio vettoriale a dimensione finita in sé...). Le operazioni di anello, come nel caso finito, sono la somma e la composizione di funzioni.
Dentro questo allegro anello, prendiamo l'applicazione lineare S che manda $ e_1\, $ in $ e_2\, $, $ e_2\, $ in $ e_3\, $ e così via ("shift"); prendiamo poi T l'applicazione che manda $ e_1\, $ in 0, $ e_2\, $ in $ e_1\, $, $ e_3\, $ in $ e_2\, $ e così via ("shift indietro"). Allora $ TS=I $, ma $ ST\neq I $, per esempio perché $ STe_1=0 $.