Soluzione molto carina (anche se forse un po' calcolosa). Buon lavoro!!
Termodinamica
Termodinamica
Una mole di gas perfetto subisce una trasformazione termodinamica passando dallo stato A allo stato B con $ V_B>V_A $ e $ p_A>p_B $ (nel piano p-V è un segmento). Determinare la temperatura massima raggiunta dal gas durante il processo sapendo che $ p_A=2*10^5 Pa $, $ p_B=0.5*10^5 Pa $, $ V_A=5dm^3 $ e $ V_B=20 dm^3 $.
Soluzione molto carina (anche se forse un po' calcolosa). Buon lavoro!!
Soluzione molto carina (anche se forse un po' calcolosa). Buon lavoro!!
La mia soluzione non ha nulla di carino (e centra anche gran poco con fisica...)
Come detto la trasformazione corrisponde su un piano p-V a un segmento, di cui "ci possiamo trovare l'equazione" (che sarebbe l'equazione della retta che "comprende quel segmento").
Quest'equazione (tenendo conto che V è espresso in $ $ m^3 $) risulta essere: $ p=-10^7 V+2.5*10^5 $
Sostituendo quest'espressione di $ \displaystyle p $ nell'equazione di stato dei gas perfetti ( $ \displaystyle pV=nRT $) si ha che $ \displaystyle T=\frac{pV}{nR}=\frac{-10^7V^2+2.5*10^5V}{R} $.
Siccome $ $ R $ è una costante, $ $ T $ sarà massima quando sarà massimo il numeratore.
Massimizzare $ -10^7V^2+2.5*10^5V $ non è difficile anche per chi non conoscesse le derivate: è una parabola con concavità rivolta verso il basso che ha massimo nel suo vertice.
La temperatura massima si avrà quindi per $ V=12.5*10^{-3}\ m^3 $ e, sostituendo nell'equazione precedente, risulta essere $ \displaystyle T=187,93 K $
Ora che l'ho scritta è ancora più orribile di quando l'avevo pensata...scusatemi...spero solo di non aver frainteso il testo del problema...
Ben vengano altre soluzioni più carine ed eleganti!
Come detto la trasformazione corrisponde su un piano p-V a un segmento, di cui "ci possiamo trovare l'equazione" (che sarebbe l'equazione della retta che "comprende quel segmento").
Quest'equazione (tenendo conto che V è espresso in $ $ m^3 $) risulta essere: $ p=-10^7 V+2.5*10^5 $
Sostituendo quest'espressione di $ \displaystyle p $ nell'equazione di stato dei gas perfetti ( $ \displaystyle pV=nRT $) si ha che $ \displaystyle T=\frac{pV}{nR}=\frac{-10^7V^2+2.5*10^5V}{R} $.
Siccome $ $ R $ è una costante, $ $ T $ sarà massima quando sarà massimo il numeratore.
Massimizzare $ -10^7V^2+2.5*10^5V $ non è difficile anche per chi non conoscesse le derivate: è una parabola con concavità rivolta verso il basso che ha massimo nel suo vertice.
La temperatura massima si avrà quindi per $ V=12.5*10^{-3}\ m^3 $ e, sostituendo nell'equazione precedente, risulta essere $ \displaystyle T=187,93 K $
Ora che l'ho scritta è ancora più orribile di quando l'avevo pensata...scusatemi...spero solo di non aver frainteso il testo del problema...
Ben vengano altre soluzioni più carine ed eleganti!
Posto anche io la mia allora, anche se simile a quella di Zok, almeno per la prima parte.
Trovata l'equazione di AB e posta a sistema con l'equazione dei gas perfetti, pongo che il discriminante dell'equazione ottenuta sia uguale a 0. Ciò corrisponde alla condizione di tangenza tra il segmento AB e l'iperbole di equazione $ pV=nRT $: infatti si ha temperatura massima in corrispondenza del punto di tangenza. Il resto sono calcoli!
Trovata l'equazione di AB e posta a sistema con l'equazione dei gas perfetti, pongo che il discriminante dell'equazione ottenuta sia uguale a 0. Ciò corrisponde alla condizione di tangenza tra il segmento AB e l'iperbole di equazione $ pV=nRT $: infatti si ha temperatura massima in corrispondenza del punto di tangenza. Il resto sono calcoli!
L'equazione nel p-v è un segmento simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e del terzo, le isoterme sono iperboli anch'esse simmetriche rispetto a quella retta, quindi l'isoterma massima che incontra quel segmento è quella che passa per il punto di intersezione della bisettrice col segmento, che, senza troppi calcoli, è il punto medio del segmento: $ p= (p_a-p_b)/2 +p_b, v= (v_b-v_a)/2 + v_a $