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Il punto medio tra l'ortocentro e il baricentro
Inviato: 06 feb 2007, 15:54
da pi_greco_quadro
Sia dato un triangolo $ ABC $. dimostrare che, detto $ F $ il punto medio tra l'ortocentro ed il baricentro, si ha $ AF^2+BF^2+CF^2=3R^2 $, dove $ R $ รจ il raggio della circonferenza circoscritta.
Ciao
Inviato: 06 feb 2007, 17:12
da enomis_costa88
Origine in O.
Per i fatti relativi alla retta di eulero $ F=\frac{2}{3}(A+B+C) $
$ LHS = \sum_{cyc}|F-A|^2 $ $ = \sum_{cyc}|\frac{2}{3}(B+C)-\frac{1}{3}(A)|^2 $
$ =\sum_{cyc}\frac{4}{9}(|B|^2+|C|^2)+\frac{1}{9}|A|^2+\frac{8}{9}<BC> - \frac{4}{9} (<AB> + <CA>) $
$ =|B|^2+|C|^2+|A|^2 = 3R^2 $