dove con [x] indichiamo la parte intera di x.
Unimi Squadre III (TdN?)
Unimi Squadre III (TdN?)
Caratterizzare le coppie di interi positivi m,n tali che
dove con [x] indichiamo la parte intera di x.
dove con [x] indichiamo la parte intera di x.
[img]http://img74.imageshack.us/img74/9892/userbar496435bw3.gif[/img]
$ 2|\frac{mn}{(m,n)^2} $ o, in altre parole, $ v_2(m)\neq v_2(n) $
Dimostrazione (brutta e noiosa):
intanto dimostriamo che la condizione e' necessaria:
se entrambi i numeri sono dispari, il numero di componenti della somma e' dispari, quindi la somma non e' pari a 0. Altrimenti poniamo: $ m=2^da $ e $ n=2^db $ con a,b dispari e notiamo che:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1}} 1^{[i/m]+[i/n]= $$ \displaystyle (m,n)*\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle 2^d*(m,n)*\sum_{i=0}^{ab-1} 1^{[i/a]+[i/b]}\neq 0 $
Ora dimostriamo che la condizione e' sufficiente:
se entrambi i membri sono divisibili per due ma a potenze diverse, abbiamo questa bella cosa:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{j=0}^{(m,n)-1} (-1)^j $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle 0*\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}=0 $
se invece $ 2|m $ ma $ 2\neq n $ poniamo $ m=2k $ e otteniamo:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}+\sum_{i=kn}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}-\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}=0 $
(spero vivamente esista una soluzione piu' bella...)
Dimostrazione (brutta e noiosa):
intanto dimostriamo che la condizione e' necessaria:
se entrambi i numeri sono dispari, il numero di componenti della somma e' dispari, quindi la somma non e' pari a 0. Altrimenti poniamo: $ m=2^da $ e $ n=2^db $ con a,b dispari e notiamo che:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1}} 1^{[i/m]+[i/n]= $$ \displaystyle (m,n)*\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle 2^d*(m,n)*\sum_{i=0}^{ab-1} 1^{[i/a]+[i/b]}\neq 0 $
Ora dimostriamo che la condizione e' sufficiente:
se entrambi i membri sono divisibili per due ma a potenze diverse, abbiamo questa bella cosa:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{j=0}^{(m,n)-1} (-1)^j $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle 0*\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}=0 $
se invece $ 2|m $ ma $ 2\neq n $ poniamo $ m=2k $ e otteniamo:
$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}+\sum_{i=kn}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}-\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}=0 $
(spero vivamente esista una soluzione piu' bella...)
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)