OliForum Matematico

Caratterizzare le coppie di interi positivi m,n tali che



dove con [x] indichiamo la parte intera di x.

Già visto!

Nessuno eh?

$ 2|\frac{mn}{(m,n)^2} $ o, in altre parole, $ v_2(m)\neq v_2(n) $

Dimostrazione (brutta e noiosa):

intanto dimostriamo che la condizione e' necessaria:

se entrambi i numeri sono dispari, il numero di componenti della somma e' dispari, quindi la somma non e' pari a 0. Altrimenti poniamo: $ m=2^da $ e $ n=2^db $ con a,b dispari e notiamo che:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1}} 1^{[i/m]+[i/n]= $$ \displaystyle (m,n)*\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle 2^d*(m,n)*\sum_{i=0}^{ab-1} 1^{[i/a]+[i/b]}\neq 0 $

Ora dimostriamo che la condizione e' sufficiente:

se entrambi i membri sono divisibili per due ma a potenze diverse, abbiamo questa bella cosa:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{j=0}^{(m,n)-1} (-1)^j $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle 0*\sum_{i=0}^{mcm(m,n)-1} 1^{[i/m]+[i/n]}=0 $

se invece $ 2|m $ ma $ 2\neq n $ poniamo $ m=2k $ e otteniamo:

$ \displaystyle\sum_{i=0}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}+\sum_{i=kn}^{mn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}= $$ \displaystyle\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}-\sum_{i=0}^{kn-1} 1^{[i/m]+[i/n]}=0 $

(spero vivamente esista una soluzione piu' bella...)