Somma di rapporti

[Pigkappa]

Per chi vede subito la strada ci vuole un attimo a farlo.

Sia ABC un triangolo, siano P, Q, R punti sui lati BC, CA, AB tali che i segmenti AP, BQ, CR si incontrano in un punto X all'interno del triangolo. Dimostrare che:

$ \Displaystyle \frac{XP}{AP} + \frac{XQ}{BQ} + \frac{XR}{CR} = 1 $

[enomis_costa88]

Non sarà il modo più bello ma in questi casi torna sempre e subito

Mando per affinità il triangolo in $ A(0,0); B(1,0) ; C(0,1) ; X(x_p,y_p) $

Avrò che per talete: $ \frac{XQ}{BQ}=x_p $
$ \frac{XR}{CR}=y_p $
Inoltre P appartiene alle due rette:
$ y=-x+1 $ e $ y=\frac{y_p}{x_p}x $
e si determina facilmente che ha coordinata $ x=\frac{x_p}{x_p+y_p} $

Quindi per talete $ \frac{XP}{AP}=\frac{\frac{x_p}{x_p+y_p}-x_p}{\frac{x_p}{x_p+y_p}}=1-x_p-y_p $.

La tesi diventa quindi: $ x_p+y_p+1-x_p-y_p=1 $.

[darkcrystal]

Per simlitudine (considerando le altezze dei triangoli BCX e ABC) si vede che $ \frac{XP}{AP}=\frac{A(BCX)}{A(ABC)} $ e cicliche. Da cui la tesi.

[Pigkappa]

Ok, allora rilancio con questo che non mi è ancora venuto

Sia ABC un triangolo e D, E, F punti sui lati BC, CA e AB rispettivamente; AD, BE e CF concorrono. M, N e P sono punti su EF, FD e DE rispettivamente. Dimostrare che AM, BN, CP concorrono se e solo se concorrono DM, EN, FP.

[edriv]

Mi ricorda qualcosa.... viewtopic.php?t=6605