Forma quadratica mod p

[Reese]

Trovare tutti i primi per cui la forma quadratica $ f(x,y)=x^2+xy+y^2 $ ha soluzioni non banali $ \bmod p $.

[dalferro11]

....un attimo reese, ma $ f(x,y) $ è congruo a che cosa mod $ p $?
Il problema mi sembra incompleto....altrimenti se lo spieghi un po' meglio....
Grazie

[Reese]

Non è incompleto. Quando dico "ha soluzioni $ \bmod p $", significa (similmente alle equazioni) che bisogna trovare tutti i primi p tali che $ f(x,y) \equiv 0 \bmod p $.

[dalferro11]

ok reese....era solo per chiarire.
La faccio breve...
Se MCD(x,y) = potenza di p la cosa è ovvia altrimenti:
I numeri primi scrivibili come $ x^2+xy+y^2 $ sono quelli congrui a 1 modulo 3. Poi la forma è equivalente a $ z^2 +3y^2 = 0 mod p $ dove $ z = 2x+y $.
Ora$ z^2 + 3y^2 = 4kp $ con k un intero e poichè p deve essere 1 modulo 3 e $ 4 = 1^2+3*1^2 $, k deve essere un prodotto di potenze di 4 e/o di primi congrui a 1 modulo 3 e le relative potenze.