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Sia ABCD un quadrilatero ciclico tale che:
$ \displaystyle AB \cdot CD = BC \cdot DA $
Un quadrilatero così lo chiameremo armonico.



Dimostrare che:

1) La bisettrice di ABC, la bisettrice di ADC, la retta AC concorrono.

2) S è l'intersezione tra le diagonali. E è il punto d'incontro delle tangenti alla circonferenza in A e C. Dimostrare che B,D,S,E sono allineati.

3) Dimostrare che BS è simmediana del triangolo ABC.

4) Dimostrare che BDSE fanno una quaterna armonica

5) Se trovate altro, dimostrate anche quello!!

Ne sei sicuro? Per Tolomeo credo sia AB*CD+BC*AD=BD*AC, quindi BC*AD = 0?

Sissì era sbagliato, ora ho corretto... facevo prima a dire "il prodotto dei lati opposti è costante"

Massì, aggiungiamo un altro punto:
Sia H la proiezione di A su BD.
Siano M,N rispettivamente i punti medi di AC,BD.
Dimostrare che HM è parallela a NC.

2-4) fatti insieme con la geometria proiettiva
Sia $ G, G' $ le intersezioni di $ BD $ rispettivamente con le tangenti in $ A $ e $ C $. Allora
$ \displaystyle (DSBG)=\frac{\sin{DAS}}{\sin{SAB}} \frac{\sin{GAB}}{\sin{DAG}} $
Ma per il teorema dei seni
$ =\frac{DC}{BC} \frac{AB}{DA}=-1 $
(occhio ai segni)
Ma ragionando analogamente otteniamo che
$ \displaystyle (DSBG')=-1 $
Quindi $ G \equiv G' \equiv E $
e $ (DSBE)=-1 $

E allora facciamo anche la 1 e la 3:

1)Per il trorema della bisettrice sul triangolo ABC la bisettrice in B divide AC in AP e CP tali che $ \displaystyle \frac{AB}{BC} = \frac{AP}{PC} $
Mentre nel triangolo ACD la bisettrice in D divide AC in AQ e CQ tali che $ \displaystyle \frac{AD}{DC} = \frac{AQ}{QC} $
inoltre per ipotesi si ha
$ \displaystyle AB \cdot CD = BD \cdot DA $
$ \displaystyle \frac{AB}{BC} = \frac{DA}{DC} $
quindi
$ \displaystyle \frac{AP}{PC}= \frac{AQ}{QC} $
quindi
$ \displaystyle P \equiv Q $, quindi le bisettrici si incontrano su AC in un unico punto e quindi concorrono con AC

3)Essendo la simmediana la retta che unisce il punto di incontro delle tangenti al cerchio circoscritto di un triangolo in due dei suoi vertici col terzo vertice la tesi è derivata direttamente dalla 2)

Aggiungerei anche questi due punti:
Dimostrare che i due punti di incontro dei prolungamenti dei lati opposti del quadrilatero ABCD stanno su EF
E dimostrare che le diagonali di ABCD concorrono con le diagonali del quadrilatero formato dalle tangenti in A,B,C e D

Sì però gli altri due punti non centrano niente con il fatto che ABCD è armonico

Però son sempre un esercizio di geometria proiettiva, quindi... risolveteli!

Altra proprietà importante che caratterizza i quadrilateri armonici:
Detti M,N i punti medi di AC, BD, dimostrare che $ ~ \angle BMC = \angle DMC $, $ ~ \angle ANB = \angle CNB $.

Su internet non si trova praticamente nulla sui quadrilateri armonici... quindi ho cercato qui e ho beccato questo
Che ovviamente rispolvero
Prima di tutto piazzo un facile rilancio:
7) Siano $a,b,c,d$ le tangenti da $A,B,C,D$ allora $(a\cap c, A, a\cap b, a\cap d)$ è una quaterna armonica

edriv ha scritto:Massì, aggiungiamo un altro punto:
Sia H la proiezione di A su BD.
Siano M,N rispettivamente i punti medi di AC,BD.
Dimostrare che HM è parallela a NC.

Bon allora... chiamo O il centro della circonferenza per ABCD e X l'intersezione delle tangenti da A e C.
ANOCX è ciclico... dato che $OAX=OCX=ONX=90$ (sfrutto che BD passa per X, che è il punto 2)
AHMX è ciclico... dato che $AMX=AHX=90$ (sfrutto che BD passa per X, che è il punto 2)
Sfruttando la prima ciclicità ottengo $CNX=CAX$, mentre sfruttando la seconda $MHX=MAX$ (angoli alla circonferenza). Ma $MAX=CAX$ per costruzione -> $CNX=MHX$ e perciò $NC\parallel HM$ che è la tesi.

edriv ha scritto:Altra proprietà importante che caratterizza i quadrilateri armonici:
Detti M,N i punti medi di AC, BD, dimostrare che $ ~ \angle BMC = \angle DMC $, $ ~ \angle ANB = \angle CNB $.

Sfrutto la ciclicità di ANOCX (angoli alla circonferenza): $ANB=ANX=AOX=XOC=CNX=CNB$ che è la tesi (equivalentemente si fa prendendo M al posto di N).

Ecco un bel disegnino allegato...