limite all'infinito

[piazza88]

qualcuno mi sa spiegare perchè
$ \lim (e^{x}/x)=+\infty $
per$ x\longrightarrow+\infty $

[Zok]

Beh una spiegazione intuitiva è che la funzione esponenziale $ $ y=e^x $ "cresce" più velocemente della funzione identità $ $ y=x $...
Se vuoi una spiegazione rigorosa, che fa uso delle derivate, si può utilizzare il teorema-regola di De L'Hopital

Piccola digressione:

Teorema di De L'Hopital
Se $ $ f,g $ funzioni derivabili in $ $ A=I(x_0)-\{x_0\} $ (dove $ $ x_0 $ può anche essere uno dei simboli $ \{0,+\infty,-\infty,\infty\} $) tali che:

1) $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0} g(x)=l $ con $ \displaystyle l \in \{0,+\infty,-\infty,\infty\} $

2) $ \displaystyle g'(x)\neq 0 \ \forall x \in A $

3) esista il $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $

Allora esiste $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} $ e risulta $ \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $


Applicando il teorema alla tua funzione risulta che:
$ \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x}= \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{1}=+\infty $

[Boll]

Se si vogliono proprio usare i cannoni allora

$ e^x=1+x+o(x^2) $

$ $ \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x}= \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \frac{1}{x}+1+\frac{o(x^2)}{x}\right)=0+1+\infty=+\infty $

[Simo_the_wolf]

Uhm, Boll, $ o(x^2) $ vuol dire che diviso $ x^2 $ quella robba va a $ 0 $ per il limite per cui hai definito l'o piccolo (spero + infinito). Ma tra l'altro ciò non è vero...

(cioè dovrebbe essere vero che $ \frac { e^x -1- x } {x^2} $ va a 0 per x--> infinito)

[Marco]

$ e^x=1+x+o(x^2) $

No, Boll, hai fatto casino. Intanto è $ e^x=1+x+o(x) $. Poi quell'espressione non è valida in $ +\infty $, ma lo è in un intorno di 0.

[piazza88]

e dimostrarlo in maniera rigorosa senza utilizzare le derivate non è possibile?

[Marco]

Boh, puoi considerare la successione $ e^n / n $, con n naturale. E' a termini positivi e il rapporto tra due termini tende a e. Quindi, la puoi minorare con, ad esempio $ 2^n $, che diverge.

[Boll]

Sì ho fatto molto casino con la notazione... Volevo dire che $ $ e^x=\sum_{i=0}^{+\infty} \frac{x^i}{i!} $ e con $ o(x^2) $ raggruppare la robba di grado maggiore di 2... Con questa mia simpatica notazione tutto torna (almeno credo)...

Cmq Simo_the_Wolf, forse è colpa di chi mi ha spiegato la prima volta Taylor

[Marco]

Beh, in ongi caso ti sei perso per strada un termine $ x^2/2 $, che senz'altro non è di grado maggiore di 2.

E comunque, quell'espansione è valida vicino a 0, ma non vicino a $ +\infty $, quindi non torna no.

Attento: Taylor si usa in un intorno del punto in cui fai l'espansione (qui 0). Se usi, come stai facendo, in $ +\infty $, butti via proprio i termini dominanti, il che non è molto.... ortodosso.

Come dimostrazione alternativa, potresti osservare che, per ogni x positivo,
$ e^x > 1 +x + x^2/2 $, senza termini di errore che ti danno noia.

A quel punto, è ovvio che il limite di $ e^x/x $ diverge, dato che il termine che domina è l'ultimo.

[SkZ]

e dimostrarlo in maniera rigorosa senza utilizzare le derivate non è possibile?

Ergo Taylor non va molto bene, dato che si ricava con le derivate.
a meno che il suo sviluppo non si riesca a recuparare via altra via (io non ricordo)

[piazza88]

marco ha scritto:

Boh, puoi considerare la successione $ e^n / n $, con n naturale. E' a termini positivi e il rapporto tra due termini tende a e. Quindi, la puoi minorare con, ad esempio $ 2^n $, che diverge.

la successione $ e^n / n $, al tendere di n a +inf, tende a +inf, non a e.
E poi cosa otterrei minorandola con $ 2^n $ (ps: intendi dire $ e^{n}/n>2^{n}/n $?)?
Dovrei poi comunque ragionare per induzione, se non voglio usare Taylor?

[hydro]

Beh si può ragionare così volendo

$ \displaystyle \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}=2^n>\binom{n}{2} $
poichè tutti i termini della sommatoria sono positivi. Quindi
$ \displaystyle 2^n>\frac{n(n-1)}{2} \Longleftrightarrow \frac{2^n}{n}>\frac{n-1}{2} $
Quindi per il teorema del confronto, la successione $ \displaystyle \frac{2^n}{n} \rightarrow +\infty $, e da $ \displaystyle e>2 \implies \frac{e^n}{n} \rightarrow +\infty $

Comunque Marco ha detto che IL RAPPORTO di due termini consecutivi tende ad e, non la successione...

[Marco]

Altra dimostrazione, partendo dalla definizione di $ e $:
$ $ e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^ n $
E' inoltre noto che tale successione è crescente.

Di qui, si può dimostrare che per ogni $ x $ positivo e per ogni $ n $,

$ $ e^x > \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^ n $

Applichiamo il teorema del binomio:
$ $ e^x > \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \left( \frac{x}{n} \right)^k $

Ora, $ x $ è positivo, quindi tutti gli addendi sono positivi. Per $ n $ almeno pari a due possiamo maggiorare con i primi tre termini:
$ $ e^x > 1 + x + \frac{n-1}{2n} x^2 $

Dato che vale per ogni $ n $, posso sostituire il secondo membro con il suo sup, quindi
$ $ e^x > 1 + x + \frac{1}{2} x^2 $

Da qui, il limite è ovvio.

[piazza88]

però hydro non dimostri che $ 2^{n}>\frac{n(n-1)}{2} $, o mi perdo qualche cosa io?

[EvaristeG]

$ 8>3 $ (n=3)
e poi,
$ n^2>3n $ se n>2, quindi se $ 2^n>(n-1)n/2 $
allora
$ 2^{n+1}=2\cdot2^n>2\cdot(n-1)n/2=n(n-1)>n(n+1)/2 $ (grazie alla disug col 3).

Cmq un esponenziale è sempre definitivamente più grande di un polinomio.