Tutti i primi che si scrivono come somma di quattro quadrati

[edriv]

... ora piever mi dice che ogni intero si scrive come somma di quattro quadrati.
Ok, aggiungiamo qualcosa:

Trovare tutti i primi che si scrivono nella forma
$ \displaystyle p = a^2+b^2+c^2+d^2 $

Per a,b,c,d interi positivi tali che $ \displaystyle ab = cd $.
Buon lavoro.

[darkcrystal]

Aggiungo 2ab e tolgo 2cd. Ottengo una somma di due quadrati, quindi quelli congrui a 3 mod 4 sono esclusi; inoltre se metto b=d=0 tutti gli altri funzionano. Quindi tutti e soli quelli congrui a 1 mod 4 e il 2.

EDIT: ho visto adesso che dovevano essere positivi quindi ora ci ripenso

[salva90]

esattamente tre tra a, b, c, d sono pari

[edriv]

salva90: e allora?

Dai basta scrivere in bianco... secondo me non da fastidio a nessuno se scrivete la soluzione per bene!

[salva90]

salva90: e allora?

Dai basta scrivere in bianco... secondo me non da fastidio a nessuno se scrivete la soluzione per bene!

hai ragione Ed, appena ho tempo la posterò
intanto ci lascio provare qualcun altro

[piever]

esattamente tre tra a, b, c, d sono pari

esattamente tre tra a, b, c, d sono pari

A parte gli scherzi:

i primi congrui a 3 mod 4 li ha gia' esclusi darkcrystal, 2 evidentemente non si puo', i primi congrui a 1 mod 4 sono rappresentabili in uno e un solo modo come somma di quadrati di interi positivi, quindi, supponendo wlog $ a\geq b $ e $ c\geq d $ abbiamo:

$ p=(a+b)^2+(c-d)^2 $ e $ p=(a-b)^2+(c+d)^2 $ che sono dunque la medesima rappresentazione, pertanto:

$ a+b=c+d $ e $ a-b=c-d $ da cui $ a=c $ e $ b=d $ ma $ 2(a^2+b^2) $ non e' un primo...

Rilancio:


determinare quali interi positivi possono essere scritti come $ a^2+b^2+c^2+d^2 $ con a,b,c,d interi positivi tali che $ ab=cd $