Non vi spiegherò il titolo.
Sia A una matrice simmetrica 3x3; consideriamo la mappa
$ f:\mathbb{S}^2\to\mathbb{R}^2 $
data da
$ f(v)=(v^TAv, \|Av-(v^TAv)v\|) $
Trovare l'immagine di f e determinare il suo legame con gli autovalori di A.
Colpa di Archimede e del suo calzolaio...
Colpa di Archimede e del suo calzolaio...
Ultima modifica di EvaristeG il 03 mar 2007, 19:36, modificato 1 volta in totale.
Ok, evidentemente faceva schifo ... cmq, la soluzione era la seguente: possiamo suppore che A sia diagonale, poichè viene diagonalizzata da una mappa ortonormale che manda la sfera in sè e quindi non altera l'immagine che stiamo studiando.
Siano $ a_1,a_2,a_3 $ gli autovalori.
Si avrà, dette x,y le coordinate in arrivo e $ w_1,w_2,w_3 $ i quadrati delle componenti di v,
$ x=\sum a_i w_i $ e $ y^2=\sum a_i^2w_i-x^2 $
Dunque, possiamo scomporre f come
$ (v_1,v_2,v_3)\mapsto (v_1^2,v_2^2,v_3^2)=(w_1,w_2,w_3)\mapsto (x,y) $
L'immagine della prima mappa è ovviamente il triangolo di vertici (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) nello spazio.
Ora è facile vedere che gli autovettori (che erano gli elementi della base di R^3 in partenza) vanno in se stessi e vengono poi mappati nei punti (a_1,0), (a_2,0), (a_3,0).
Inoltre, se imponiamo ad esempio $ w_1=0,\ w_2+w_3=1 $ otterremo che
$ y^2+x^2-(a_2+a_3)x=a_2a_3 $
che è l'equazione di una circonferenza che ha centro a metà tra (a_2,0) e (a_3,0) e vi passa. Similmente, gli altri lati del triangolo andranno in cfr che hanno per diametro un segmento delimitato dalle immagini di due autovettori. Esse delimitano dunque un arbelo.
Per concludere basta dimostrare che l'interno del triangolo va nell'interno dell'arbelo, ma questo è semplice: se intersechiamo il triangolo di partenza con un piano della famiglia $ a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3=k $, avremo fissato la x in arrivo e la y^2 sarà funzione lineare di w_1,w_2,w_3, quindi variando queste su un segmento, l'immagine sarà anch'essa un segmento, con i bordi sull'immagine del bordo e dunque sarà un segmento interno all'arbelo.
Faceva così schifo?
Siano $ a_1,a_2,a_3 $ gli autovalori.
Si avrà, dette x,y le coordinate in arrivo e $ w_1,w_2,w_3 $ i quadrati delle componenti di v,
$ x=\sum a_i w_i $ e $ y^2=\sum a_i^2w_i-x^2 $
Dunque, possiamo scomporre f come
$ (v_1,v_2,v_3)\mapsto (v_1^2,v_2^2,v_3^2)=(w_1,w_2,w_3)\mapsto (x,y) $
L'immagine della prima mappa è ovviamente il triangolo di vertici (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) nello spazio.
Ora è facile vedere che gli autovettori (che erano gli elementi della base di R^3 in partenza) vanno in se stessi e vengono poi mappati nei punti (a_1,0), (a_2,0), (a_3,0).
Inoltre, se imponiamo ad esempio $ w_1=0,\ w_2+w_3=1 $ otterremo che
$ y^2+x^2-(a_2+a_3)x=a_2a_3 $
che è l'equazione di una circonferenza che ha centro a metà tra (a_2,0) e (a_3,0) e vi passa. Similmente, gli altri lati del triangolo andranno in cfr che hanno per diametro un segmento delimitato dalle immagini di due autovettori. Esse delimitano dunque un arbelo.
Per concludere basta dimostrare che l'interno del triangolo va nell'interno dell'arbelo, ma questo è semplice: se intersechiamo il triangolo di partenza con un piano della famiglia $ a_1w_1+a_2w_2+a_3w_3=k $, avremo fissato la x in arrivo e la y^2 sarà funzione lineare di w_1,w_2,w_3, quindi variando queste su un segmento, l'immagine sarà anch'essa un segmento, con i bordi sull'immagine del bordo e dunque sarà un segmento interno all'arbelo.
Faceva così schifo?