Siano r,s interi non nulli e k un reale positivo. Si consideri la sequenza $ ~ a_n $ definita da:
$ ~ a_0 = r $
$ ~ a_1 = s $
$ ~ a_{n+2} = \frac{a_{n+1}^2 + k}{a_n} $
Dimostrare che tutti i termini della sequenza sono interi se e soltanto se:
$ ~ \frac{r^2 + s^2 + k}{rs} \in \mathbb{Z} $
Famoso balkan 1986
Mando la mia soluzione, anche se incompleta, perché mi sembra di aver superato lo scoglio principale e spero che qualcuno mi indichi come uscire dalla secca successiva.
La formula di ricorrenza può essere scritta come
(1) $ a_n a_{n+2}- a_{n+1}^2=k $
Poiché il primo membro è uguale a una costante, il suo valore non dipende dagli indici ed è quindi uguale a ciò che si ottiene diminuendoli di una unità, cioè
$ a_n a_{n+2}- a_{n+1}^2= a_{n-1} a_{n+1}- a_n^2 $
che in un paio di passaggi si può trasformare in
$ \displaystle \frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n} $
I due membri indicano lo stesso calcolo, con gli indici diminuiti di una unità: quindi il risultato non dipende dall’indice ma è una costante che chiameremo h. Dalla precedente formula ricaviamo allora
(2) $ a_{n+2}=h a_{n+1}-a_n $
Si ha in particolare $ a_2=hs-r $ ; ponendo nella (1) n=0 e sostituendo i valori noti si ottiene
(3) $ - r^2+hrs-s^2=k $
e, ricavandone h, si nota che esso è il valore della frazione di cui si parla al termine dell’enunciato.
Nulla è ancora stato detto sulla natura dei numeri in questione; esaminiamola ora, con riferimento alla (2): se r, s, h sono interi è evidente che lo sono tutte la $ a_n $; viceversa, se tutte le $ a_n $ sono intere, h deve essere un numero razionale p/q, con p, q primi fra loro. Sembra ovvio che deve essere q=1, ma non riesco a dimostrarlo; l’unico risultato da me ottenuto è che in caso contrario ogni $ a_n $ deve essere divisibile per $ q^n $.
Altre osservazioni
Nell'ipotesi si parla di k reale e positivo; in realtà la (3) ci dice che k deve essere intero (anche se non lo è h, lo è hs). Imponendo poi che sia positivo, la (3) dà $ r^2-hrs+s^2<0 $ che può verificarsi solo se l'equazione (nell'incognita r/s) ha soluzioni reali e distinte, cioè se $ h^2>4 $.
Non saprei però come collegare questo alla soluzione; sospetto che quel “positivo” sia sfuggito in un attimo di distrazione.
La formula di ricorrenza può essere scritta come
(1) $ a_n a_{n+2}- a_{n+1}^2=k $
Poiché il primo membro è uguale a una costante, il suo valore non dipende dagli indici ed è quindi uguale a ciò che si ottiene diminuendoli di una unità, cioè
$ a_n a_{n+2}- a_{n+1}^2= a_{n-1} a_{n+1}- a_n^2 $
che in un paio di passaggi si può trasformare in
$ \displaystle \frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{a_n} $
I due membri indicano lo stesso calcolo, con gli indici diminuiti di una unità: quindi il risultato non dipende dall’indice ma è una costante che chiameremo h. Dalla precedente formula ricaviamo allora
(2) $ a_{n+2}=h a_{n+1}-a_n $
Si ha in particolare $ a_2=hs-r $ ; ponendo nella (1) n=0 e sostituendo i valori noti si ottiene
(3) $ - r^2+hrs-s^2=k $
e, ricavandone h, si nota che esso è il valore della frazione di cui si parla al termine dell’enunciato.
Nulla è ancora stato detto sulla natura dei numeri in questione; esaminiamola ora, con riferimento alla (2): se r, s, h sono interi è evidente che lo sono tutte la $ a_n $; viceversa, se tutte le $ a_n $ sono intere, h deve essere un numero razionale p/q, con p, q primi fra loro. Sembra ovvio che deve essere q=1, ma non riesco a dimostrarlo; l’unico risultato da me ottenuto è che in caso contrario ogni $ a_n $ deve essere divisibile per $ q^n $.
Altre osservazioni
Nell'ipotesi si parla di k reale e positivo; in realtà la (3) ci dice che k deve essere intero (anche se non lo è h, lo è hs). Imponendo poi che sia positivo, la (3) dà $ r^2-hrs+s^2<0 $ che può verificarsi solo se l'equazione (nell'incognita r/s) ha soluzioni reali e distinte, cioè se $ h^2>4 $.
Non saprei però come collegare questo alla soluzione; sospetto che quel “positivo” sia sfuggito in un attimo di distrazione.
Perfetto! Completo la soluzione, cominciando col dimostrare quanto prima solo affermato.
Partiamo dalla formula di ricorrenza trovata, che conviene scrivere come
$ a_n+a_{n+2}=\frac p q a_{n+1} $
Poiché il primo membro è intero, deve esserlo anche il secondo, quindi $ a_{n+1} $ deve essere multiplo di q. Questo avviene per ogni n $ \ge $0 , quindi dall’indice 1 in poi tutte la $ a_n $ sono divisibili per q. Supposto ora n $ \ge $1 , osserviamo di nuovo la formula: il primo membro è divisibile per q e deve esserlo anche il secondo, quindi $ a_{n+1} $ è divisibile per $ q^2 $. Continuando così, concludiamo che ogni $ a_n $ è divisibile per $ q^n $.
Ricordando ora che $ k=a_n a_{n+2}-a_{n+1}^2 $ ci accorgiamo che k è divisibile per $ q^{2n+2} $ cioè una costante è divisibile per q elevato a una potenza qualsiasi, anche illimitata; questo è possibile solo per q=$ \pm $1 e quindi h è intero (si poteva anche imporre fin dall’inizio q>0).
Partiamo dalla formula di ricorrenza trovata, che conviene scrivere come
$ a_n+a_{n+2}=\frac p q a_{n+1} $
Poiché il primo membro è intero, deve esserlo anche il secondo, quindi $ a_{n+1} $ deve essere multiplo di q. Questo avviene per ogni n $ \ge $0 , quindi dall’indice 1 in poi tutte la $ a_n $ sono divisibili per q. Supposto ora n $ \ge $1 , osserviamo di nuovo la formula: il primo membro è divisibile per q e deve esserlo anche il secondo, quindi $ a_{n+1} $ è divisibile per $ q^2 $. Continuando così, concludiamo che ogni $ a_n $ è divisibile per $ q^n $.
Ricordando ora che $ k=a_n a_{n+2}-a_{n+1}^2 $ ci accorgiamo che k è divisibile per $ q^{2n+2} $ cioè una costante è divisibile per q elevato a una potenza qualsiasi, anche illimitata; questo è possibile solo per q=$ \pm $1 e quindi h è intero (si poteva anche imporre fin dall’inizio q>0).