Naturalmente quel 1000 non ha nulla di speciale, per cui riformuliamo innanzitutto il problema come segue:
"Siano $ m, n \in \mathbb{N}^+ $, con $ m \ge 2 $, ed $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ degli interi positivi $ \le m-1 $ tali che lcm$ (a_i, a_j) > m $, se $ i, j = 1, 2, \ldots, n $ ed $ i \ne j $. Allora $ \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} < 2 $."
Soluz.: se $ n=1 $, la tesi è banale. Dato perciò $ n\ge 2 $, sia $ S_i = \{q \in \overline{1, m}: a_i \mid q\} $, per ogni $ i = 1, 2, \ldots, n $. Banalmente $ S_i \cap S_j = \emptyset $, se $ i, j = 1, 2, \ldots, n $ ed $ i \ne j $. Così $ m > |S_1 \cup S_2 \cup \ldots \cup S_n| =\displaystyle \sum_{k=1}^n |S_i| = \sum_{k=0}^n \left\lfloor \frac{m}{a_i} \right\rfloor \ge \sum_{k=0}^n \frac{m}{a_i} - m $. Da qui la tesi - ma solo a fronte di una lunga sequela di fatti noti, combinati opportunamente insieme a dimostrarla, di cui non dico unicamente per amor di sintesi e per la consapevolezza di fare cosa gradita a qualcheduno.
Mi sono espresso bene,
questa volta, Boll?
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Dio ha inventato i numeri interi. Tutto il resto è opera dell'uomo. ~ Leopold Kronecker
Una sera, di presso al tramonto, un'anziana signora, incontrata per Caso sui binari di una vecchia stazione in disuso, mi domandò se sapessi dove finisce il Cielo. Sconfitto, felice - risposi non so. Oggi non dimentico le sue ultime parole, un attimo prima di partire, quando - con tutta la tenerezza ingenua di una vita - mi rivelò, come a susurrarmi il suo segreto, che il Cielo finisce nel cuore di Dio. ~ S
