Teorema del resto sui polinomi.. in pratica?

[meditans]

Ciao a tutti... ho un problema nello svolgere questo esercizio:

Il polinomio $ $P(x) $ da resto $ $4 $ quando viene diviso per $ $x-5 $, resto $ $-3 $ quando viene diviso per $ $x+5 $ e resto $ $1 $ quando viene diviso per $ $x $. Che resto dà quando viene diviso per $ $x^3-25x $?

E io vorrei risolverlo risolvendo il sistema di congruenze sui polinomi con il teorema cinese del resto:
$ $\left\{ \begin{array}{lll} x\equiv4\:(mod\:x-5)\\ x\equiv-3\:(mod\:x+5)\\ x\equiv1\:(mod\:x)\\ \end{array} \rigth $

Il problema sorge quando devo calcolare l'inverso di $ $50 $ modulo $ $x-5 $ perchè la soluzione che mi verrebbe da scrivere è $ $\frac{1}{50} $ e non so renderla in modo "esplicito" (cioè eliminando la frazione)
Taglio corto: mi fate vedere come si fa?
In particolare il calcolo dei reciproci che il resto lo so fare...

Grazie mille
meditans

[Cammy87]

In realtà l'inverso di 50 modulo x-5 è proprio 1/50 inteso come numero razionale, o meglio come polinomio a coefficienti razionali. Quando si lavora con le congruenze tra polinomi lo si fa, generalmente, in Q[x], cioè nell'anello dei polinomi a coefficienti razionali, questo perchè ci si basa (come per i numeri) sull'algoritmo euclideo che permette di effettuare la divisione con resto tra polinomi, e affinchè questa divisione sia sempre possibile i coefficienti dei polinomi devono essere razionali (o perlomeno tutti invertibili). Ad esempio non è possibile dividere x^2+5 per 5x+2 in Z[x], ma in Q[x] sì.

Quindi nel tuo caso l'inverso di 50 mod x-5 è 1/50, o meglio tutti i polinomi di questo tipo 1/50+(x-5)k, come nel caso degli interi, soltanto che qui k è un polinomio!

Non so se sono stato abbastanza chiaro, e se ho risolto i tuoi dubbi (o paura di no ), semmai chiedi ancora.

[meditans]

Era la risposta che mi aspettavo in effetti... ora vorrei sapere questo:

$ $ \exists $(anima di buona volontà) tale che faccia l'esercizio e mi dica almeno il risultato, così controllo se ho capito...

a me dà $ $67 $ ma vorrei esserne sicuro!!

Grazie in anticipo a tutti
meditans

[Boll]

A me viene $ $ \frac{-x^2+35x+50}{50} $ come resto... E il polinomio iniziale $ $ P(x)=Q(x)(x^3-25x)+\frac{-x^2+35x+50}{50} $

[dovix91]

scusate ma si può anche risolvere senza TCR?