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Siano $ \Gamma_1 $ e $ \Gamma_2 $ due circonferenze passanti per i punti $ A $ e $ B $. Preso un punto $ P $ su $ \Gamma_1 $ si considerano i punti
$ M $ ed $ N $ intersezioni di $ \Gamma_2 $ col le rette $ PA $ e $ PB $.

Dimostrare che la lunghezza della corda $ MN $ non dipende dalla scelta di $ P $

Consideriamo tutti gli angoli orientati per non farci troppo male coi casi e prendiamo per simmetria MN su Gamma_1...

$ \angle ANB=x $ è fissato dalla figura perchè dipende dalla corda $ AB $ e da $ \Gamma_1 $. Usando il fatto che $ ANBM $ ciclico avremo $ PMB=x $. Ora $ \angle MPB=y $ è anch'esso fissato perchè dipende da $ AB $ e da$ \Gamma_2 $. Per il teorema dell'angolo esterno $ \angle MBN=x+y $ e quindi è fissato anche $ MN $ usando il teorema della corda (sfruttando solo il raggio di Gamma_1)