[Teoria dei Gruppi] Lemma per gruppi quoziente

[Ani-sama]

È un lemmino tutto sommato facile, direi, che comunque ho trovato piuttosto istruttivo. Supponiamo $ $G$ $ un gruppo, e $ $N$ $ un sottogruppo normale di $ $G$ $. (scrivo, per sintesi, $ N \lhd G $). Allora:

1) Ogni sottogruppo del gruppo quoziente $ G/N $ è della forma $ M/N $ dove $ $M$ $ è sottogruppo di $ $G$ $ e $ N \subseteq M \subseteq G $.

2) Ogni sottogruppo normale di $ G/N $ è della forma $ M/N $ dove $ $M$ $ è sottogruppo normale di $ $G$ $ e $ N \subseteq M \subseteq G $.

Per la cronaca, potete tentare, partendo da questi fatti qua (e usando anche il I teorema di isomorfismo), di dimostrare il III teorema di isomorfismo, cioè: dato $ $G$ $ gruppo, $ N\lhd G, M \lhd G $ con $ N \subseteq M \subseteq G $, allora $ (G/N) / (M/N) \cong G/M $.

Buon divertimento!

[fields]

Facciamo direttamente il terzo esercizio, senza supporre veri i primi due, che sono ovvi...

Proposizione. Sia $ f $ un omomorfismo di gruppi $ G\rightarrow K $ e sia $ M\lhd G $. Allora la funzione $ g: G/M\rightarrow f(G)/f(M) $ tale che $ [a]\longmapsto [f(a)] $ e' un omomorfismo suriettivo.

Prova. Ovviamente $ f(M) $ e' un sottogruppo normale di $ f(G) $. Infatti se $ f(g)\in f(G) $, allora $ f(g)f(M)f(g)^{-1}=f(gMg^{-1})=f(M) $.
Verifichiamo ora che$ g $ e' ben definita. Se $ [tex] $[a]=[/tex], allora $ aM=bM $e dunque $ f(aM)=f(bM) $e dunque$ f(a)f(M)=f(b)f(M) $e dunque$ [f(a)]=[f(b)] $. Verificare inoltre che g e' un omomorfismo e' immediato:$ g(ab)=[f(ab)]=[f(a)f(b)]=[f(a)][f(b)]=g(a)g(b) $ La suriettivita' e' ovvia.

Teorema. Siano $ M,N\lhd G $, con $ N\subseteq M $Allora $ G/M\cong (G/N)/(M/N) $

Prova. Per i teoremi di omomorfismo, la funzione $ f $ che $ a\longmapsto [a] $ e' un omomorfismo suriettivo $ G\rightarrow G/N $. Per la proposizione precedente, la funzione $ g: G/M\rightarrow f(G)/f(M) $ tale che $ [a]\longmapsto [f(a)] $e' un omomorfismo suriettivo.
Mostriamo che $ g $ e' iniettivo. Supponiamo $ [tex] $g([a])=g()[/tex]. Allora $ [f(a)]=[f(b)] $ e dunque $ f(b^{-1}a)\in f(M) $ e dunque $ f(b^{-1}a)= f(m) $ per qualche $ m\in M $ e dunque $ [b^{-1}a]=[m] $ e dunque $ b^{-1}aM=mM=M $e dunque $ aM=bM $ e dunque $ [tex] $ [a]=[/tex]. Dunque g e' iniettivo.
Per ottenere la tesi basta provare ora che $ f(M)=M/N $. Facile: e' chiaro che se $ m\in M $, allora $ f(m)=[m]=mN\subseteq mM=M $; dunque $ f(m)\in M/N $. D'altra parte se $ [m]\in M/N $, ovviamente $ [m]=f(m)\in f(M) $