Frazioni con 3 incognite

[julio14]

Trovare tutte le terne (x; y; z) di interi non negativi che soffisfano l'equazione:

$ $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{z+2}$ $

[MateCa]

Tanto per rompere il ghiaccio propongo le terne banali (0,n,n) e (n,0,n)...

[Sherlock]

Ed io propongo le restanti (1,1,4) (1,2,10) (1,3,28) (2,1,10) e (3,1,28)
Basta eliminare i denominatori e notare che sia x che y non possono essere maggiori di 3, ma ora non mi va proprio di postare i conti

Edit: In realtà si potrebbero dedurre gia dal testo

[MateCa]

Sottoscrivo la soluzione di Sherlock...
Io avevo fatto dei conti in modo un po' strano, e avevo trovato che $ xy<=4 $
Con questo metodo si ottengono anche altre tre soluzioni non finite, ovvero$ (1, 4, +\infty); (2, 2, +\infty); (4, 1, +\infty) $
Non dovrebbero esserci altre soluzioni...

[Noemi91x]

dovrebbe esserci pure per B>1/4 (3,1,28 ) e poi per A>1/4 (1,3,28 )


scusate modifico..nn avevo visto che sherlock l'avevo scritta su...perchè nn avevo capito che 8 ) era stato mutato in smiles...

[julio14]

Anch'io l'avevo risolto come MateCa: in particolare ero arrivato a $ $z=\frac{4xy+4x+4y}{4-xy} $ quindi perchè z fosse positivo doveva esserlo anche il denominatore.

[Sherlock]

Gia maledetta smile...non l'avevo notata neanch'io

Anch'io ero arrivato alla stessa equazione (almeno credo, chissà dov'è finito il foglio di ieri )

Però ragionando intuitivamente dal testo si può notare che se x fosse maggiore di 3, dando a y il valore minimo 1 (i casi con gli zeri li abbiamo gia risolti) si ha un valore minore di $ \frac{1}2 $ e quindi il valore massimo è 3, a questo punto restano pochi casi, ovviamente la stessa cosa vale per y

EDIT: Come fatto notare da mateca però per x=4 e y=1 abbiamo proprio come risultato un mezzo, quindi basta far tendere z ad infinito per annullare l'altra frazione[/tex]

[HiTLeuLeR]

Cerco solo di mettere un po' d'ordine, senza nutrire, tuttavia, alcuna pretesa di riuscirci:

Trovare tutte le terne (x; y; z) di interi non negativi che soffisfano l'equazione:

$ $\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{z+2}$ $

Se $ x,y\ge 2 $, allora $ \mbox{LHS} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} < \mbox{RHS} $. Del resto, se $ x = 0 $ [risp., $ y = 0 $], allora banalmente $ y = z $ [risp., $ x = z $], ed ogni terna del tipo $ (0,a,a) $ [risp., $ (a,0,a) $], con $ a\in\mathbb{N} $, è soluzione. Possiamo perciò supporre, per il seguito, $ x,y \ge 1 $. Se adesso $ x = y $, dev'essere $ $\frac{2}{x+2} = \frac{1}{2}+\frac{1}{z+2}$ $, e quindi, a forza, $ x=1 $, visto che $ \mbox{LHS} \le \frac{1}{2} < \mbox{RHS} $, se $ x\ge 2 $. E si trova, in effetti, che $ (1,1,4) $ è un'ulteriore soluzione all'equazione proposta. Di qui in avanti, per simmetria, ci è dato dunque assumere $ 1 \le x < y $, per cui (tenuto conto di quanto si è già detto) necessariamente $ x=1 $, e quindi $ $y = 4 - \frac{36}{z+8}$ $ (conti). Pertanto, $ z = 2\xi $, per qualche $ \xi \in \mathbb{N} $, e allora $ $y = 4 - \frac{18}{\xi+4}$ $. Senonché dev'essere $ y \in \mathbb{N} $ ed $ y \ge 2 $. Allora $ 18 \le 2(\xi +4) $, i.e. $ \xi \ge 5 $, e $ (\xi + 1) \mid 18 $. Da qui le terne $ (1, 2, 10) $, $ (2, 1, 10) $, $ (1, 3, 28) $ e $ (3, 1, 28) $ da aggiungere all'elenco delle soluzioni già determinate in precedenza.

[HiTLeuLeR]

Con questo metodo si ottengono anche altre tre soluzioni non finite, ovvero$ (1, 4, +\infty); (2, 2, +\infty); (4, 1, +\infty) $

Per la cronaca, sia detto che $ +\infty $ non è un intero positivo...