integrale

[pinco]

ho la seguente domanda...quando si scrivono gli integrali (siano essi definiti o indefiniti) si fa il segno di integrale, si mette la funzione f(x) da integrare e poi si scrive il dx...quello che non capisco è questo:
1) dx è il differenziale di x?
2) che ci sta a fare la se poi si integra la funzione f(x)?
3) il dx funziona come un fattore, cioè, il dx moltiplica la funzione f(x) come se fosse un numero, tipo un 2 o un 5?
grazie e perdonate la mia ignoranza

[Nonno Bassotto]

Puoi prenderlo come un simbolo. $ \int f $, $ \int f(x) dx $ vanno bene entrambi, solo che la seconda scrittura chiarisce meglio qual è la variabile rispetto a cui stai integrando (nel caso che f dipenda da più di una variabile).

In realtà quel simbolo ha un vero significato, dove dx è il differenziale di x, f(x)dx è il prodotto e quello che si integra è una 1-forma differenziale, ma in questo contesto non c'è assolutamente necessità di tirare in ballo tutto questo.

[pinco]

dunque f(x)dx è un prodotto???...se così è, mi spieghi il significato di questo prodotto
grazie

[SkZ]

se ben ricordo la notazione deriva dal passaggio al limite dell'espressione (semplificata) per il calcolo dell'area sottesa da una funzione a scalino (a supporto compatto)
$ $\sum f(x_i)\Delta x_i$ $

[Nonno Bassotto]

dunque f(x)dx è un prodotto???...se così è, mi spieghi il significato di questo prodotto
grazie

Ecco... come ti ho detto non è una cosa che posso spiegare a questo livello. Quel prodotto è una 1-forma differenziale, e ci vuole un (bel) po' di teoria per arrivare a definire cos'è. E in questo contesto semplice non si ottiene niente di nuovo, per cui conviene prenderlo come una notazione.

[pinco]

ok...va bene...vorrà dire che aspetterò l'università...nel frattempo mi indichi le "bibbie" dell'analisi matematica: intendo libri completi, iperrigorosi, che non lasciano niente al caso e all'intuizione, che trattano e spiegano attraverso procedure logiche ineccepibili tutto, tutto, tutto finanche (e qui esagero) "perchè il segno di addizione di si fa come si fa!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"
grazie ancora

[pinco]

nonno bassotto levami una ultima curiosità....quando si fa l'integrale §f(x)dx, si integra la funzione f(x) o si integra la 1-forma differenziale f(x)dx?
grazie

[Nonno Bassotto]

Puoi fare le due cose, ed ottieni lo stesso risultato. Diciamo che le forme differenziali sono oggetti che puoi integrare lungo percorsi curvilinei; quando le integri su una retta non ottieni niente di nuovo.

[pinco]

grazie a nonno bassotto per la disponibilità e per i chiarimenti

[gennarob86]

ciao pinco
anche io avevo i tuoi stessi dubbi quando andavo in 5 liceo!!!!
cmq la cosa è facilissima, ora ti spiego:

-innanzitutto chiariamo una cosa prima di parlare di integrali: dx non è un differenziale!!!! bensì è "l'incremento infinitesimo della variabile indipendente della f". invece il differenziale è "l'incremento infinitesimo dy della tangente alla curva ", e si esprime come dy=f'(x)dx; ecco dunque la relazione tra dx e dy.

-ora veniamo al tuo dubbio: perchè si mette dx nel segno di integrale??
-l'integrale è l'area sottesa alla curva della funzione f(x)
-secondo la geometria elementare come si calcola quest'area in modo approssimato??? facile, si immagina di suddividere quest'area in rettangolini di base dx e altezza f(x), se ne calcola l'area (base x altezza) e si sommano tutte le aree (l'intervallo a,b in cui stiamo integrando la funzione, lo suddividiamo in tantissimi dx).
-tanto piu i dx sono piccoli, tanto meglio è approssimata l'area.
-il simbolo di integrale non è altro che un simbolo di sommatoria un po particolare, ma sempre sommatoria è.
-quindi$ \int f(x)dx $significa sommatoria dei tanti rettangolini f(x)*dx (base x altezza, ovvero ordinata x ascissa).
-quindi f(x)dx è proprio un prodotto come pensavi tu
-dx, oltre a servire a quello che ho detto io, serve anche a indicare la variabile di integrazione: infatti se scrivo $ \int f(x,y)dx $ significa che sto integrando rispetto a x, cioè le y le considero costanti.

[MindFlyer]

Cioé.
Ora io non vorrei accanirmi su un nuovo arrivato, quindi dico solo:
cioé.

[gennarob86]

Cioé.
Ora io non vorrei accanirmi su un nuovo arrivato, quindi dico solo:
cioé.

pensi che abbia detto qualche sciocchezza??? ti ricordo che non era mia intenzione definire cos'è un integrale(cosa che posso fare senza alcun problema in modo ineccepibile... secondo riemann (secondo lebesgue lo farò in analisi 3)), ma solo dare un'idea di massima, e almeno fare capire perchè si usi tale simbologia!!! ho ricontrollato.... credo di non avere detto alcuna sciocchezza..... ne sul simbolo nè sul differenziale

[pinco]

per favore continuiamo qui che temo di avere fatto solo casino e vi ho fatto sbagliare le risposte
http://olimpiadi.ing.unipi.it/oliForum/ ... php?t=8245

[SkZ]

il motivo dei simboli si era detta

se ben ricordo la notazione deriva dal passaggio al limite dell'espressione (semplificata) per il calcolo dell'area sottesa da una funzione a scalino (a supporto compatto)
$ $\sum f(x_i)\Delta x_i$ $

come ho detto deriva, ma non e' esattamente come l'hai posto tu. alle sup puo' andar bene la semplificazione che hai esposto e rispecchia babstanza com'era agli inizi.
Applicando la teoria degli integrali a tutte le funzioni integrabili (e l'integrabilita' di una funzione non e' una cosa banale da stabilire: secondo Reimann, Lebesgue o altro?) le cose diventano complicate dato che non stiamo considerando meramente polinomi e/o funzioni trascendenti