Trovare tutte le soluzioni negli interi positivi.
Ovviamente è facile, ma visto che è così disomogenea bisogna ingegnarsi un minimo.
xyz = x + y + z
Provo: mi metto nel caso $ $x=y=z$ $ da cui ho la terna di soluzioni $ $(0,0,0)$ $ non accettabile. Allora posso avere $ $x \geq y > z$ $ oppure $ $x > y \geq z$ $, essendo l'equazione simmetrica. Studio cosa succede nel caso $ $z\geq 2$ $:
$ $xyz \geq x \cdot 2\cdot 2$ $ almeno, ma $ $4x > 3x$ $ a forza $ $> x+y+z$ $ , assurdo. Quindi $ $z$ $ dev'essere $ $< 2$ $, cioè $ $z = 1$ $, da cui segue:
$ $xy = x + y + 1$ $
$ $xy - x - y = 1$ $
$ $xy - x - y + 1 = 1 + 1$ $
$ $(x - 1)(y - 1) = 2$ $, faccio i conti e ho $ $x=\{2, 3\}$ $, rispettivamente $ $y=\{3, 2\}$ $, quindi unica terna di soluzioni negli interi positivi è $ $(1,2,3)$ $ in qualsivoglia ordine di $ $x,y$ $ e $ $z$ $.
Edit: tolta la citazione e sistemata la sol
$ $xyz \geq x \cdot 2\cdot 2$ $ almeno, ma $ $4x > 3x$ $ a forza $ $> x+y+z$ $ , assurdo. Quindi $ $z$ $ dev'essere $ $< 2$ $, cioè $ $z = 1$ $, da cui segue:
$ $xy = x + y + 1$ $
$ $xy - x - y = 1$ $
$ $xy - x - y + 1 = 1 + 1$ $
$ $(x - 1)(y - 1) = 2$ $, faccio i conti e ho $ $x=\{2, 3\}$ $, rispettivamente $ $y=\{3, 2\}$ $, quindi unica terna di soluzioni negli interi positivi è $ $(1,2,3)$ $ in qualsivoglia ordine di $ $x,y$ $ e $ $z$ $.
Edit: tolta la citazione e sistemata la sol
Tu chiamale, se vuoi, emozioni.
Non so se interesserà a qualcuno, comunque, altra soluzione più corta: come prima metto che sia $ $x$ $ il numero più grande, allora $ $x+y+z \leq 3x \,\, \Longrightarrow \,\, xyz \leq 3x$ $ $ $\Longrightarrow \,\, yz \leq 3$ $ , da cui è facile concludere ed accettare la terna $ $(1,2,3)$ $.
Tu chiamale, se vuoi, emozioni.