Molleggioso

[Gauss]

Dato un poligono convesso, A_1A_2...A_n, dimostrare che esiste un punto O al suo interno tale che *OA_1+*OA_2+...+*OA_n=0.
<BR>
<BR>
<BR>[con *OA_i intendo il vettore da O al vertice A_i]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Gauss il 14-12-2002 14:57 ]

[Gauss]

Non ho capito la tua obiezione....

[ma_go]

Disponiamo questo poligono sul piano complesso. I suoi vertici saranno vettori [A_j == (x_j,y_j)].
<BR>Ora creiamo il polinomio Produttoria[(x-(x_j+i*y_j)), j=1,2,..n].
<BR>Esso avrà uno sviluppo del tipo
<BR>x^n-sum[(x_j+i*y_j, j=1,2,..n]+...+Produttoria[(x_j+i*y_j), j=1,2,..n].
<BR>sum[(x_j+i*y_j, j=1,2,..n] = a + b*i.
<BR>Spostiamo il sistema di riferimento, mantenendo l\'orientamento degli assi, e facendo coincidere O con O\'(a/n,b/n).
<BR>Tale punto dovrebbe essere il punto richiesto, esssendo la somma dei vettori O\'A_j nulla (il coefficiente del termine di (n-1)-esimo grado è 0, in teoria).

[Gauss]

Spiego il titolo. L\'ho chiamato \"molleggioso\" perchè per risolverlo mi è venuta in mente un\'argomentazione fisica. Se qualcuno ha la mia stessa idea, posti...
<BR>
<BR>meditate compagni (niente di politico), meditate...

[WindowListener]

anche io ho pensato \"fisicamente\"
<BR>
<BR>supponiamo di avere un sistema di masse puntiformi uguali tra loro disposte agli n vertici del nostro poligono.
<BR>ora posizioniamoci nel baricentro e calcoliamo il momento delle forze considerando il campo gravitazionale parallelo al vettore unitario i (asse x)
<BR>
<BR>Ps : le variabili rappresenano vettori ( tranne n : numero masse )
<BR>
<BR>summ(k := 1 to n) [v_k*(-i)] = 0
<BR>
<BR>se invece consideriamo il campo gravitazionale parallelo al vettore unitario j ( asse y)
<BR>
<BR>abbiamo che
<BR>
<BR>summ(k:=1 to n) [v_k*(-j)] = 0
<BR>
<BR>
<BR>da cui
<BR>
<BR>summ(k := 1 to n) [ v_k*(-i)+v_k*(-j)] = 0 ---> summ(k := 1 to n) [v_k] = 0
<BR>
<BR>quindi il baricentro è il punto cercato ( magari nn l\'unico ance se dubito )
<BR>
<BR>ciao

[Gauss]

Io avevo ragionato così. Prendiamo il poligono. Supponiamo che nei vertici siano poste molle ideali con lunghezza di riposo nulla e costante elastica 1. Unite tutte ad uno stesso punto O. Le forze di richiamo delle molle saranno quindi esattamente i vettori del testo del problema ed il punto O cercato sarà quello per cui il sistema è in equilibrio. Se tale punto esiste dovrà essere (evidentemente) interno al poligono. L\'equilibrio del sistema si avrà quando l\'energia potenziale di questo sarà minima, il che equivale a richiedere che sia minima la somma dei quadrati dei moduli dei vari vettori (l\'energia potenziale per una molla con costante elastica k e allungata di un tratto Dl, vale 1/2k(Dl)^2). Tale somma è una funzione continua, limitata, e perciò avrà un minimo, che per quanto detto prima sarà interno al poligono, e che sarà il punto cercato.
<BR>
<BR>Quantitativamente (facendo qualche conto con le derivate), si vede che questo punto è proprio il baricentro.

[DD]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Se tale punto esiste dovrà essere (evidentemente) interno al poligono. </BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>E se non esiste?

[ma_go]

Io ho dimostrato che esiste.
<BR>Ma non è affatto detto che si trovi all\'interno del poligono.
<BR>Se è convesso si (ad intuito) se no non necessariamente.

[Gauss]

L\'esistenza (del minimo per l\'eergia potenziale) è dimostrata dal teorema di weierstrass, il fatto che il punto sia interno nel caso di un poligono convesso è evidente, visto che altrimenti tutti i vettori non potrebbero avere risultante nulla.
<BR>
<BR>Per quanto riguarda poligoni non convessi è plausibile che possa trovarsi all\'esterno, ma non è il nostro caso.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Gauss il 16-12-2002 20:46 ]

[DD]

Scusa il mio scetticismo, ma Weierstrass non ti dice che il minimo sia zero. Il sistema potrebbe non raggiungere mai l\'equilibrio. E\' tutto molto evidente, ovviamente, ma è sempre rischioso basarsi sull\'evidenza.
<BR>Io lo dimostrerei così: prendiamo un sistema di riferimento mobile Oxy e muoviamo prima y e O lungo l\'asse x. Consideriamo la componente x della risultante di tutti i vettori OA_k: essa sarà rivolta verso destra quando O sarà all\'estremo sinistro del poligono, a sinistra quando O sarà all\'estremo destro, e sarà dunque nulla quando O sarà in qualche punto con x compresa tra il max e il min delle x dei punti del poligono (teorema del valore medio). Ora fissiamo y (in modo da non perdere il risultato ottenuto) e muoviamo x e O lungo l\'asse y: analogamente a prima, ci sarà un punto con y compresa tra il max e il min delle y dei punti del poligono per cui anche la componente y della risultante si annullerà. La convessità del poligono ci assicura che il punto trovato appartiene al poligono, e il risultato è facilmente generalizzabile a 3 o n dimensioni.

[Gauss]

No, io ho semplicemente detto che il punto di equilibrio esisterà nel punto dove si realizza il minimo dell\'energia potenziale. E\' questo il minimo che deve esistere per il teorema di weierstrass e non deve essere zero.

[ma_go]

ma scusate la mia dimostrazione non elimina tutti i problemi?? e in più non quantifica anche il tutto????

[Gauss]

Sì, vabbene, era per dire.
<BR> Puoi quantificare il tutto anche con questo metodo. Infatti. Sia U(P) la funzione che mi da l\'energia potenziale del sistema se il centro delle molle si trova in P, U sarà la somma dei quadrati delle distanze dai vertici. In termini analitici U(P)=SUM[1...n]{(x-x_P)^2+(y-y_P)^2}. Le due derivate parziali sono @U(P)/@x=SUM[1...n]{2(x-x_P)} e @U(P)/@y=SUM[1...n]{2(y-y_P)}. Detto questo si trovano facilmente le coordinate del minimo ponendo uguale a zero @U(P)/@x e @U(P)/@y.

[DD]

Sì, che il minimo dell\'energia potenziale debba essere zero era un\'immane idiozia fiscia, faccio ammenda.