sugli integralei....non ci sto capendo più niente

[pinco]

allora poniamo che il seguente simbolo tra parentesi sia il simbolo di integrale (§). Gli integrali indefiniti si scrivono §f(x)dx dove f(x) è la funzione integranda e dx è il differenziale di x. in un precedente intervento mi è stato detto di considerare dx come un simbolo...e fino ad oggi l'ho fatto....ma oggi il proff ha spiegato l'integrazione per sostituzione e sono sorti i problemi....mi spiego.................consideriamo l'integrale indefinito §f(x)dx: se f(x) è una derivata nota, io scrivo la primitiva con la costante additiva e l'integrale è risolto, quindi, in questa risoluzione dell'integrale il dx non lo considero proprio o al limite lo valuto come simbolo e, per tanto, integro la funzione f(x) e basta....oggi il proff ha spiegato il metodo di sostituzione: per applicarlo devo considerare dx come un fattore, dal momento che per applicare la formula §f(x)dx=§f[g(t)]g'(t)dt devo porre dx=g'(t)dt dove, evidentemente, g'(t)dt è un prodotto, ne segue che il dx o il dt non è più un simbolo ma un fattore e io vado ad integrare il prodotto di una funzione per un differenziale (nel membro di sinistra della formula della sostituzione) e il prodotto di una funzione per una derivata per un differenziale (nel membro di destra).......................ora io mi domando: dx è un simbolo o è un fattore??? se è un simbolo è un simbolo sempre e basta, se è un fattore è un fattore sempre e basta, giusto??? se lo considero come simbolo integro la funzione e se lo considro come fattore integro il prodotto di una funzione per un differenziale, ma allora si può sapere: si integra la funzione f(x) o si integra il prodotto di una funzione per un differenziale ( f(x)dx )???
grazie e perdonatemi se proprio non riesco a farmi passare sti dubbi ma io sono di quelli che pensano che se fai na cosa devi cercare di capire quello che fai.....

[pic88]

Puoi sempre lavorare come se fosse un simbolo. Anche nell'integrazione per sostituzione.

Supponi che $ g $ sia una funzione invertibile e $ x=g(t) $

Se devi calcocare

$ \displaystyle \int f(x) dx $

puoi aiutarti sapendo che esso è uguale a


$ \displaystyle \int f(g(t))g'(t)dt $, e ora vediamo perchè.

Supponi di avere una funzione F la cui derivata sia $ F'(x)=f(x) $.
Questa funzione F puoi scriverla, in funzione di t, come: $ F(g(t)) $. Se calcoli la derivata rispetto a t di questa roba hai
$ \frac{d}{dt}F(g(t))=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t) $ (regole di derivazione per f composte)

Quindi il primo integrale di sopra (quello con x) ha per soluzione F(x)+c, e anche il secondo. Infatti F(x) è una primitiva in x di f(x) ma è anche una primitiva in t di f(t)g'(t)