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allora poniamo che il seguente simbolo tra parentesi sia il simbolo di integrale (§). Gli integrali indefiniti si scrivono §f(x)dx dove f(x) è la funzione integranda e dx è il differenziale di x. in un precedente intervento mi è stato detto di considerare dx come un simbolo...e fino ad oggi l'ho fatto....ma oggi il proff ha spiegato l'integrazione per sostituzione e sono sorti i problemi....mi spiego.................consideriamo l'integrale indefinito §f(x)dx: se f(x) è una derivata nota, io scrivo la primitiva con la costante additiva e l'integrale è risolto, quindi, in questa risoluzione dell'integrale il dx non lo considero proprio o al limite lo valuto come simbolo e, per tanto, integro la funzione f(x) e basta....oggi il proff ha spiegato il metodo di sostituzione: per applicarlo devo considerare dx come un fattore, dal momento che per applicare la formula §f(x)dx=§f[g(t)]g'(t)dt devo porre dx=g'(t)dt dove, evidentemente, g'(t)dt è un prodotto, ne segue che il dx o il dt non è più un simbolo ma un fattore e io vado ad integrare il prodotto di una funzione per un differenziale (nel membro di sinistra della formula della sostituzione) e il prodotto di una funzione per una derivata per un differenziale (nel membro di destra).......................ora io mi domando: dx è un simbolo o è un fattore??? se è un simbolo è un simbolo sempre e basta, se è un fattore è un fattore sempre e basta, giusto??? se lo considero come simbolo integro la funzione e se lo considro come fattore integro il prodotto di una funzione per un differenziale, ma allora si può sapere: si integra la funzione f(x) o si integra il prodotto di una funzione per un differenziale ( f(x)dx )???
grazie e perdonatemi se proprio non riesco a farmi passare sti dubbi ma io sono di quelli che pensano che se fai na cosa devi cercare di capire quello che fai.....

Puoi sempre lavorare come se fosse un simbolo. Anche nell'integrazione per sostituzione.

Supponi che $ g $ sia una funzione invertibile e $ x=g(t) $

Se devi calcocare

$ \displaystyle \int f(x) dx $

puoi aiutarti sapendo che esso è uguale a


$ \displaystyle \int f(g(t))g'(t)dt $, e ora vediamo perchè.

Supponi di avere una funzione F la cui derivata sia $ F'(x)=f(x) $.
Questa funzione F puoi scriverla, in funzione di t, come: $ F(g(t)) $. Se calcoli la derivata rispetto a t di questa roba hai
$ \frac{d}{dt}F(g(t))=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t) $ (regole di derivazione per f composte)

Quindi il primo integrale di sopra (quello con x) ha per soluzione F(x)+c, e anche il secondo. Infatti F(x) è una primitiva in x di f(x) ma è anche una primitiva in t di f(t)g'(t)