rivestimento.

[DarkSepiroth]

Siano $ r, s $ due rette distinte di $ \mathbb{C}^2 $ passanti per l'origine. Siano $ X = \mathbb{C}^2 \setminus r , Y = \mathbb{C}^2 \setminus {r \cup s}. $
Dunque, le richieste sono:
1)Dire se $ X $ è omeomorfo a $ Y $.

Ok, questo l'ho escluso ragionando sui gruppi fondamentali,dato che:
$ \mathbb{C}^2 \setminus r \cong (\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2) \setminus r $ = $ (\mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}) \times \mathbb{R}^2 \cong (S^1 \times (0,+\infty)) \times \mathbb{R}^2 $, quindi omotopicamente equivalente a $ S^1 $ perchè gli altri termini del prodotto sono contrattili. Quindi essendo X connesso per archi, per ogni $ z_{0} \in X, \pi_{1} (X,z_{0}) \cong \mathbb{Z} $.
Invece $ \mathbb{C}^2 \setminus {r \cup s} = $ $ \mathbb{C}^2 \setminus r \cap \mathbb{C}^2 \setminus s \cong \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}) \times \mathbb{R}^2 $ $ \cap \mathbb{R}^2 \times ( \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}) \cong \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}) \times \mathbb{R}^2 \setminus {(0,0)}) $ $ \cong S^1 \times S^1 \times (0,+\infty) \times (0,+\infty) $, che è omotopicamente equivalente al toro
$ S^1 \times S^1 $.
Sapendo che $ \pi_{1} (S^1 \times S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} $, poichè sappiano che il gruppo fondamentale non cambia per omotopia e in particolare per omeomorfismi, se per assurdo $ X \cong Y \rightarrow \pi_{1}(X) = \pi_{1}(Y) \rightarrow \pi_{1}(S^1) = \pi_{1}(S^1 \times S^1) $.

2) Dire se esistono rivestimenti $ x \rightarrow Y, Y \rightarrow X $.
Una parte è ovvia perchè se esistesse $ p: Y \rightarrow X $rivestimento, dovrebbe esistere un omomorfismo iniettivo di gruppi $ p_{*} : \pi_{1}(Y,y_{0}) \rightarrow \pi_{1} (X,p(y_{0})) $, cioè un omomorfismo iniettivo di $ \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} $ assurdo.

Caso piu difficile il secondo: come posso procedere? suggerimenti? Io pensavo di giungere a un assurdo proponendo tramite composizioni di rivestimenti, due rivestimenti universali di Y non omeomorfi e quindi non equivalenti fra di loro...come formalizzare?

[ma_go]

un suggerimento potrebbe essere:

di media, non tutte le risposte ai punti di uno stesso problema sono "falso"

un altro suggerimento, invece, potrebbe essere:

rileggi quello che hai fatto, la chiave sta negli omeomorfismi che hai già scritto..

ma questo lo lascio in bianco (per quanto vago), semmai ti bastasse convincerti che un rivestimento c'è :p

[DarkSepiroth]

Giusto, pensandoci bene a questo punto era ovvio che il rivestimento esiste. Infatti, siano
$ p_1 : S^1 \to S^1 $ dato da $ p = Id_{S^1} $,
$ p_2: \mathbb{R} \to S^1 $ dato da $ p_1(x) = e^{ix} $ (rivestimento universale di $ S^1 $ ),
$ p_3: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 $ dato da $ p_3 = Id_{\mathbb{R}^2} $.
Allora prendo l'applicazione prodotto $ p: S^1 \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \to S^1 \times S^1 \times \mathbb{R}^2 $ definita come applicazione prodotto sulle tre componenti, $ p=(p_1,p_2,p_3) $. Poichè il prodotto di rivestimenti è un rivestimento, p è un rivestimento.
Ma allora se chiamo $ \varphi_1 : X \to S^1 \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 $ e $ \varphi_2 : Y \to S^1 \times S^1 \times \mathbb{R}^2 $ gli omeomorfismi di cui ho già parlato nel primo post, ho che $ \varphi_2^{-1} \circ p \circ \varphi_1 : X \to Y $ è il rivestimento ricercato.