OliForum Matematico

trovare tutti gli n naturali tali che n^5 + n^4 +1 sia un primo

ti posso dire solo ke 0 e 1 funonziano
ti consiglio di costruirti un grafico

Buffo consiglio: quando mai su un grafico vedresti dove stanno i valori primi??

n^5+n^4+1 si fattorizza in n^2+n+1 per n^3-n+1 ...

exodd ha scritto:ti posso dire solo ke 0 e 1 funonziano
ti consiglio di costruirti un grafico

0 non è naturale e soprattutto 1 non è primo

salva90 ha scritto: 0 non è naturale e soprattutto 1 non è primo

Sulla "naturalità" dello 0 si potrebbe discutere... Mi pare che convenzionalmente si specifichi se lo si vuole considerare o meno... Nel primo caso si scrive $ \displaystyle\mathbb{N}_0 $, nel secondo $ \mathbb{N^*} $. Tutti d'accordo, però, sulla non-primalità di 1...

P.S.: Non capisco perché non visualizzi bene N_0, nonostante il displaystyle... help!

$ \displaystyle \mathbb{N}_0 $

Lo zero va fuori dalla graffa

Solitamente credo si prenda lo 0 tra i naturali per renderli un monoide con la +, poi boh.

loro volevano dire che se n=o il risultato è 1 che è universalmente riconosciuto non essere primo

Vada per le fattorizzazioni e altro

peppeporc ha scritto: Lasciando stare fattorizzazioni e altro, so che $ p \equiv 0,1,2,3,4 \bmod 5 $ e per il piccolo teorema di Fermat ho che $ n^5 \equiv n \bmod 5 $ e $ n^4 \equiv 1 \bmod 5 $. Quindi $ n+2=0,1,2,3,4 $, da cui l'unica soluzione che fa al nostro caso è $ n=1 $.

questa non l'ho capita molto a dire il vero

EDIT: Ok, ok, mi sono scordato il mod 5...

Ma scusa eh, mica detto che n+2 dev'essere un rappresentante privilegiato (mod 5)...
mi spiego...
se ad esempio n=6 $ n+2=8\equiv 3 \bmod 5 $, ma non n+2=3... non capisco...

Va be', dai, trovo un modo per fattorizzare $ n^5+n^4+1 $:
$ n^5+n^4+1 = n^5+n^4+n^3-n^3+1 $$ = n^3(n^2+n+1)+(1-n)(1+n+n^2) = $$ (n^3-n+1)(n^2+n+1) $. Uguagliando i fattori ottenuti rispettivamente a $ 1 $ e a $ p $ e viceversa, si giunge ad accettare $ n=1 $.

Non so se l'hai letta, ma praticamente è la soluzione di evariste...