Solo fattori congrui a 1 modulo p

[edriv]

n è un intero positivo, p un primo.
Dimostrare che ogni divisore di $ ~ (n+1)^p-n^p $ è congruo a 1 modulo p.

[darkcrystal]

Sia $ q $ un primo che divide quella roba, dunque $ (n+1)^p \equiv n^p \pmod q $. Poichè ovviamente $ (n,q)=1 $, si ha anche $ (n+1)^p \cdot n^{-p} \equiv 1 \pmod q \Rightarrow (1+1/n)^p \equiv 1 \pmod q $ dove le frazioni vanno usate nel senso dell'inverso moltiplicativo (che esiste per la coprimalità).
Ma allora l'ordine di $ 1+1/n $ modulo q divide p, e del resto non può essere 1 (ne verrebbe $ 1+1/n \equiv 1 \pmod q \Rightarrow 1/n \equiv 0 \pmod q $), quindi è esattamente p.
Ma l'ordine moltiplicativo divide la $ \varphi(q) = q-1 $, dunque $ q \equiv 1 \pmod p $. Se del resto questo è vero per ogni primo q, allora anche tutti i divisori (che sono prodotti di primi) sono congrui a 1 mod p.

Ciao!

[Simo_the_wolf]

$ \Longrightarrow $ esistono infiniti primi della forma $ kp+1 $ !!