Integrale

[barz]

Non riesco a risolvere questo integrale

$ \displaystyle\int \sqrt{e^x-1}\;\; dx $

[MindFlyer]

La soluzione è
$ \displaystyle 2\left(\sqrt{e^x-1}-\arctan \sqrt{e^x-1}\right)+C $,
e questo dovrebbe farti venire qualche idea...

[Apocalisse86]

L'integrale si risolve con due sostituzioni:

1) si pone $ \displaystyle e^x= t \rightarrow dx=\frac{1}{t}dt $
così facendo l'integrale diventa:
$ \displaystyle \int \frac {\sqrt{t-1}}{t}dt $
2) si pone $ \displaystyle \sqrt{t-1}= z \rightarrow t=z^2+1 \rightarrow dt=2zdz $
ottenendo:
$ \displaystyle 2\int \frac{z^2}{z^2+1}dz $
che si risolve aggiungendo e togliendo uno al numeratore e "sdoppiando" la frazione:
$ \displaystyle 2\int \frac{z^2+1}{z^2+1}dz -2\int \frac{1}{z^2+1}dz=2z-2\arctan z $
ricordando le due sostituzioni si ha che:
$ \displaystyle\int \sqrt{e^x-1}\;\; dx = \displaystyle 2\left(\sqrt{e^x-1}-\arctan \sqrt{e^x-1}\right)+C $
come aveva giustamente scritto mindflyer...!
spero che sia tutto corretto...

[MateCa]

Oppure - che è lo stesso - si può sostituire con $ t=\sqrt{e^x-1} $
Così si evita la doppia sostituzione...ma comunque il risultato è quello...

[Apocalisse86]

Si infatti... avevo provato in quel modo ma forse avevo commesso qulache errore ... e ho preferito fare la doppia sostituzione.... ora ho riprovato e giustamente si giunge allo stesso risultato più velocemente... ciao!!